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课时规范练 22 任意角、弧度制及任意角的三
角函数
基础巩固练
√5
1.(2024·北京期中)已知角α终边上一点P(1,y),若cos α= ,则y的值为( )
5
A.√5 B.2
C.±√5 D.±2
2.(2024·河南许昌模拟)已知扇形的半径为1,圆心角θ为30°,则扇形的面积为( )
π
A.30 B.
12
π π
C. D.
6 3
3.(2024·内蒙古呼和浩特期中)在△ABC中,B为钝角,则点P(cos A,tan B)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2024·四川宜宾模拟)已知角α的终边上一点的坐标为(a,2),其中a是非零实数,则下列
三角函数值恒为正的是( )
A.cos αtan α B.sin αcos α
C.sin αtan α D.tan α
1 1 1 1
5.(2024·江苏南通模拟)设a= cos ,b=sin ,c=tan ,则( )
3 3 3 3
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a
6.(2024·山东潍坊三模)如图,半径为1的圆M与x轴相切于原点O,切点处有一个标志,该
圆沿x轴向右滚动,当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N),标志位
于点A处,圆N与x轴相切于点B,则阴影部分的面积是( )
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A.2 B.1
π π
C. D.
3 4
7.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若α是第一象限角,则-α是第四象限角
B.若α,β是第一象限角,且α<β,则sin αsin β,那么下列命题中成立的是( )
A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β
C.若α,β是第二象限角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
π π
14.若点A(cos θ,sin θ)关于y轴的对称点为B(cos(θ+ ),sin(θ+ )),写出θ的一个取值为
6 6
.
1 1
15.(13分)(2024·北京模拟)已知 =- ,且lg cos α有意义.
|sinα| sinα
(1)试判断角α所在的象限;
3
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M( ,m),求m的值及sin α的值.
5
创新应用练
16.如图,边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑
动翻滚,点P为正六边形的一个顶点,当点P第一次落在桌面上时,点P走过的路程为
.
答案：
1 √5
1.D 解析 因为角α终边上有一点P(1,y),因此cos α= = ,解得y=±2,所以y的值为±2.
√1+ y2 5
故选D.
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π 1 1 π
2.B 解析 已知扇形圆心角θ为30°,即θ= ,扇形的半径为1,所以扇形的面积S= θr2= × ×
6 2 2 6
π
1= .
12
3.D 解析 在△ABC中,由B为钝角,则A为锐角,则cos A>0,tan B<0,则点P(cos A,tan B)在第四
象限.故选D.
4.A 解析 由题可知角α是第一或第二象限角.结合选项,只有cos αtan α数值恒为正.
π
5.D 解析 如图,α∈(0, ),角α终边为OP,其中点P为角α的终边与单位圆的交点,过点P作
2
PM⊥x轴,交x轴于点M,A点为单位圆与x轴的正半轴的交点,过点A作AT⊥x轴,交角α终边于
点T,则有向线段MP为角α的正弦线,有向线段AT为角α的正切线, =α×1=α,
l
PA
⏜
1 1 1 1 1
由图可知,S OAP 3× =1,所以b>a,所以c>b>a.故选D.
a 3 3
6.B 解析 由圆M与圆N外切,得MN=2,又圆M、圆N与x轴分别相切于原点O和点B,则
1
OB=MN=2,所以劣弧AB长等于OB=2,所以劣弧AB对应的扇形面积为 ×2×1=1.故选B.
2
π π
7.AD 解析 对于A,若α为第一象限角,则α∈(2kπ, +2kπ),k∈Z,所以-α∈(- -2kπ,-2kπ),k∈Z,是
2 2
π 13π
第四象限角,故A正确;对于B,若α= ,β= ,满足α,β是第一象限角,且α<β,但sin α>sin β,故B
3 6
π 1 π 3π
错误;对于C,设扇形所在圆的半径为r,则 ·r=π,解得r=3,所以该扇形的面积S= × ×32= ,
3 2 3 2
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1
4√3×
故C错误;对于D,扇形所在圆的半径r= 2=4,所以该扇形的弧长l=2π 4=8π,故D正确.
×
π 3 3
sin
3
故选AD.
√3 √3 1 √3
8.- 解析 由题设知P(- , ),故cos α=- .
2 2 2 2
1 2
9.6+2π 解析 设扇形所在圆的半径为R,利用扇形面积计算公式S= × πR2=3π,可得R=3,所
2 3
2
以该扇形的弧长为l= π×3=2π,所以周长为l+2R=6+2π.
3
π 3π π
10.[2kπ- ,2kπ+ ],k∈Z 解析 由题图,终边OB对应角为2kπ- ,k∈Z,终边OA对应角为2kπ+
6 4 6
3π π 3π
,k∈Z,所以角θ的集合是[2kπ- ,2kπ+ ],k∈Z.
4 6 4
π π π π
11.A 解析 由已知∠BAC= ,AB=1,得AB=BC=AC= ×1= ,则莱洛三角形的周长为 ×
3 ⏜ ⏜ ⏜ 3 3 3
3=π.故选A.
{sinθ-cosθ>0,
12.AB 解析 因为点P(sin θ-cos θ,tan θ)在第一象限,所以 即角θ位于第一或第
tanθ>0,
π π
三象限,且满足sin θ>cos θ,所以当角θ位于第一象限时,θ∈( , ),此时sin θ>cos θ;当角θ位于
4 2
5π
第三象限时,θ∈(π, ),此时sin θ>cos θ.故选AB.
4
13.CD 解析 设α,β的终边分别为OP,OQ,则sin α=MP>NQ=sin β.
如图(1),此时cos α=OMTK=tan β,故D正确.故选CD.
5π 5π
14. (满足θ= +kπ,k∈Z即可)
12 12
π π π π
解析 ∵A(cos θ,sin θ)与B(cos(θ+ ),sin(θ+ ))关于y轴对称,即θ,θ+ 关于y轴对称,θ+
6 6 6 6
5π 5π
+θ=π+2kπ,k∈Z,则θ=kπ+ ,k∈Z,当k=0时,可取θ的一个值为
.
12 12
1 1
15.解 (1)∵ =- ,∴sin α<0.①
|sinα| sinα
∵lg cos α有意义,∴cos α>0.②
由①②得,角α在第四象限.
3
(2)∵点M( ,m)在单位圆上,
5
3 4
∴( )2+m2=1,解得m=± ,
5 5
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4 4
又α是第四象限角,即m<0,∴m=- ,由三角函数定义知sin α=- .
5 5
√3
16.(1+ )π 解析 可以分为三步,每步以木块与桌面右侧接触点为圆心,该点到P的距离为半
3
π
径,旋转的角度均为 ,记每步走过的路程为l.
3
π 2π
第一步:r=2,l
1
= ×2= ;
3 3
π √3
第二步:r=√3,l
2
= ×√3= π;
3 3
π π 2
第三步:r=1,l
3
= ×1= ,所以当点P第一次落在桌面上时,点P走过的路程为l
1
+l
2
+l
3
= π+
3 3 3
√3 1 √3
π+ π=(1+ )π
3 3 3
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