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课时规范练 41 空间点、直线、平面之间的位
置关系
基础巩固练
1.若AB∥A'B',BC∥B'C',且∠ABC=45°,则∠A'B'C'等于( )
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.不能确定
2.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'( )
A.一定平行且方向相同
B.一定平行且方向相反
C.一定不平行
D.不一定平行
3.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点.若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与
CD所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.(多选题)(2024·江苏苏州模拟)下列图象中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点共
面的是( )
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx5.(多选题)(2024·河北邯郸模拟)如图,在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取
点E,F,G,H,若直线EH,GF相交于点P,则下列结论正确的是( )
A.点P必在平面ABD内
B.点P必在平面CBD内
C.点P必在直线BD上
D.直线FG与直线BD为异面直线
6.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF= .
7.在正方体ABCD-A B C D 中,平面ABC D 与平面A BCD 的交线是 所在的
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直线.
8.(13分)如图,已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面.
综合提升练
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx9.(2024·重庆模拟)如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,与直线
π
CN所成角为 的直线是( )
3
A.DE B.AB
C.BF D.BN
10.(多选题)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列
说法中正确的有( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C. BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
△
11.如图所示,圆锥的底面直径AB=4,高OC=2√2,D为底面圆周上的一点,且∠AOD
=120°,则直线AD与BC所成角的大小为 .
12.(13分)(2024·陕西咸阳模拟)如图,在正四棱台ABCD-A B C D 中,E,F,G,H分别为棱
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A B ,B C ,AB,BC的中点.证明:
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关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(1)E,F,G,H四点共面;
(2)多面体EFB -GHB是三棱台.
1
创新应用练
13.(2025·北京名校一轮复习)如图,在正方体AC 中,O是BD的中点,A C与截面BDC 交
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于P,那么C ,P,O三点共线,其理由是 .
1
答案：
1.C 解析 因为AB∥A'B',BC∥B'C',且∠ABC=45°,
所以∠A'B'C'=45°或∠A'B'C'=135°.
2.D 解析 如图,若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,OB与O'B'不一定平行.
1 1
3.A 解析 取AD的中点H,连接FH,EH,可知EH∥CD,FH∥AB,且EH= CD,FH= AB,则
2 2
∠FEH是EF与CD所成的角或其补角,
因为EF⊥AB,所以在△EFH中,∠EFH=90°.由CD=2AB,可得HE=2HF,
HF 1
则sin∠FEH= = ,所以∠FEH=30°.
HE 2
4.ABD 解析 对于A,如图,分别连接PS,QR,AB,
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx由题可得AB∥QR,
因为P,S为所在棱的中点,故PS∥AB,则PS∥QR,所以P,S,R,Q四点共面,故A正确;
对于B,如图,设E,F为所在棱的中点,分别连接PS,SR,RF,FQ,QE,EP,PF,由正方体性质易知
SR∥PF,所以S,R,F,P四点共面,同理,R,F,Q,S四点共面,所以P,S,R,F,Q五点共面,故B正确;
对于C,PQ 平面PQS,S∈平面PQS,S PQ,R 平面PQS,所以四点不共面,故C错误;
⊂ ∉ ∉
对于D,如图,连接PQ,SR,由P,Q为所在棱的中点可得PQ∥AB,同理RS∥AB,故PQ∥RS,所以
P,S,R,Q四点共面,故D正确.故选ABD.
5.ABC 解析 因为EH 平面ABD,且P∈EH,所以P∈平面ABD,故A正确;同理,FG 平面CBD,
且P∈FG,所以P∈平面CBD,故B正确;因为平面ABD∩平面CBD=BD,由基本事实3,得P∈BD,
⊂ ⊂
故C正确;FG∩BD=P,故D不正确.故选ABC.
6.90° 解析 如图,由题意知,DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC,或∠DEF+∠PBC=180°,所以
∠DEF=90°.
7.BD 解析 在正方体ABCD-A B C D 中,B∈平面ABC D ,D ∈平面ABC D ,
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且B∈直线BD ,D ∈直线BD ,因此直线BD 平面ABC D ,
1 1 1 1 1 1
同理,直线BD 平面A BCD ,所以平面ABC D ∩平面A BCD =BD .
1 1 1 1⊂1 1 1 1
⊂
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx8.证明 因为a∥b,所以a和b确定一个平面α,所以A∈α,B∈α.因为l∩a=A,l∩b=B,故l α.又
a∥c,所以a和c确定一个平面β.同理可证l β.即l和a既在平面α内又在平面β内,且l与a相
⊂
交,故平面α,β重合,即直线a,b,c,l共面.
⊂
9.A 解析 正方体的平面展开图所对应的几何体,如图所示,
CN √2 1 π
其中点E,F重合,连接BD.BN与CN所成角为∠BNC,而cos∠BNC= = ≠ ,即∠BNC≠ ,
BN √3 2 3
π
故D错误;AB∥CD,则AB与CN所成角为∠NCD= ,故B错误;BF∥CN,故C错误;DE与CN所
4
π
成角为∠BED,而BE=BD=DE= ,即∠BED= ,故A正确.
√2
3
1
10.ABC 解析 由题图可知,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,所以MN∥AC,且MN= AC,
2
1
同理,在△ADC中,QP∥AC,且QP= AC,所以MN∥QP,MN=QP,所以四边形MNPQ为平行四边
2
形,故D错误;所以M,N,P,Q四点共面,故A正确;在△ABC中,由中位线定理得ME∥BC,同理,在
△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,又因为∠QME和∠DBC的两边方向相同,所以
∠QME=∠DBC,故B正确;同理可得∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,所以△BCD∽△MEQ,故C
正确.故选ABC.
11.60° 解析 如图,延长DO交底面圆于点E,连接BE,CE,
易证△AOD≌△EOB,所以AD=BE,∠ADE=∠DEB,所以AD∥BE,所以∠CBE即为异面直线AD
与BC所成的角(或其补角).
在△AOD中,AD=2OAsin 60°=2√3,
在Rt BOC中,BC=√OB2+OC2=2√3,
所以CB=CE=BE,所以△CBE为正三角形,所以∠CBE=60°,即直线AD与BC所成的角为60°.
△
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx12.证明 (1)连接AC,A C ,如图所示,在正四棱台ABCD-A B C D 中,A C ∥AC,
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∵E,F,G,H分别为棱A B ,B C ,AB,BC的中点,
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∴EF∥A C ,GH∥AC,
1 1
∴EF∥GH,
∴E,F,G,H四点共面.
(2)∵A C ≠AC,∴EF≠GH,且EF∥GH,∴四边形EFHG为梯形.延长GE,HF,则GE与HF必相交,
1 1
不妨设EG∩FH=P,
∵GE 平面AA B B,∴P∈平面AA B B,
1 1 1 1
∵HF 平面BB C C,∴P∈平面BB C C,
⊂ 1 1 1 1
又平面AA B B∩平面BB C C=BB ,∴P∈BB ,∴GE,FH,B B交于一点.
⊂ 1 1 1 1 1 1 1
又平面EFB ∥平面GHB,
1
∴多面体EFB -GHB是三棱台.
1
13.C ,P,O是平面A ACC 和平面BDC 的公共点,所以它们共平面A ACC 与平面BDC 的交线
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解析 因为O是BD中点,则O是AC中点,故O∈平面A ACC ,A C与截面BDC 交于P,故
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P∈A C,所以P∈平面A ACC ,又C ∈平面A ACC ,所以C ,P,O∈平面A ACC ,又C ,P,O∈平面
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BDC ,所以C ,P,O在平面A ACC 和平面BDC 的交线上
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