文档内容
课时规范练 36 等差数列
基础巩固练
1.(2024·广东茂名二模)设等差数列{a }的前n项和为S ,且2a =a +5,则S 的值是( )
n n 5 4 11
A.11 B.50
C.55 D.60
S
2.(2024·河北邢台模拟)已知S 是等差数列{a }的前n项和,若a =3,S =25,则 4 =(
n n 2 5
a -a
4 2
)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.(2024·广东佛山模拟)设等差数列{a },{b }的前n项和分别为S ,T ,若对任意正整数n都
n n n n
S 2n-3 a a
有 n = ,则 3 + 9 =( )
T 4n-3 b +b b +b
n 4 8 5 7
3 5
A. B.
7 21
19 19
C. D.
41 40
4.(多选题)(2024·辽宁沈阳模拟)设{a }是等差数列,S 是其前n项的和,且S S ,
n n 5 6 6 7 8
则下面结论正确的是( )
A.d≤0
B.a =0
7
C.S 与S 均为S 的最大值
6 7 n
D.满足S <0的n的最小值为14
n
5.(2022·全国乙,文13)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差d=
n n 3 2
.
6.(2024·福建福州模拟)“二十四节气”是上古农耕文明的产物,它是上古先民顺应农时,
通过观察天体运行,认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古
代用日晷测量日影的长度,日晷长即为所测量影子的长度,二十四个节气及日晷长变化如
图所示,相邻两个节气日晷长的变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.
已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为(
)
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C.60尺 D.60.5尺
a
7.(13分)(2024·广东深圳模拟)记S 为数列{a }的前n项和,已知S = n+n2+1,n∈N*.
n n n
2
(1)求a +a ,并证明{a +a }是等差数列;
1 2 n n+1
(2)求S .
n
综合提升练
8.(2024·浙江金丽衢十二校一模)一个正方形网格ABCD由99条竖线和99条横线组成,
每个最小正方形格子边长都是1.现在网格中心点O处放置一棋子,棋子将按如下规则沿
线移动:O→P →P →P →P →P →……,点O到P 的长度为1,点P 到P 的长度为2,点P
1 2 3 4 5 1 1 2 2
到P 的长度为3,点P 到P 的长度为4,……,每次换方向后的直线移动长度均比前一次
3 3 4
多1,变换方向均为向右转.按此规则一直移动直到移出网格ABCD为止,则棋子在网格上
移动的轨迹长度是( )
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C.4 850 D.4 851
9.(2024·广东佛山二模)设数列{a }的前n项之积为T ,满足a +2T =1(n∈N*),则a =(
n n n n 2 024
)
1 011 1 011
A. B.
1 012 1 013
4 047 4 048
C. D.
4 049 4 049
10.(多选题)已知递增的正整数数列{a }的前n项和为S .以下条件能得出{a }为等差数列
n n n
的有( )
A.S =n2+n(n∈N*)
n
B.S =n2+1(n∈N*)
n
C.a =a +2(n∈N*)
n+2 n
D.a =2a (n∈N*)
2n n
11.(2024·广东潮州模拟)将数列{a }中的项排成下表:
n
a
1
a ,a
2 3
a ,a ,a ,a
4 5 6 7
a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a
8 9 10 11 12 13 14 15
…
已知各行的第一个数a ,a ,a ,a ,…构成数列{b },b =3且{b }的前n项和S 满足
1 2 4 8 n 2 n n
S +S =2S +2(n∈N*,且n≥2),从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成公
n+1 n-1 n
差为d的等差数列,且公差为同一个常数.若a =19,则第6行的所有项的和为
130
.
2S
12.(15分)(2022·全国甲,理17)设S 为数列{a }的前n项和.已知 n+n=2a +1.
n n n
n
(1)证明:{a }是等差数列;
n
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)若a ,a ,a 成等比数列,求S 的最小值.
4 7 9 n
创新应用练
13.(2024·河北邯郸模拟)若数列{a }从第二项起,每一项与前一项的差构成等差数列,则称
n
数列{a }为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上,用剪刀沿直线剪一圆形纸片,将剪
n
n(n∈N*)刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为b ,经实际操作可得
n
b =2,b =4,b =7,b =11,…,根据这一规律,得到二阶等差数列{b },则b = ;若将
1 2 3 4 n 8
圆形纸片最多分成1 276块,则n= .
答案：
1.C 解析 由等差数列{a }的性质得2a =a +5=a +a ,可得a =5,
n 5 4 4 6 6
11(a +a )
则S = 1 11 =11a =55.
11 6
2
5×4
2.D 解析 设{a }的公差为d,由等差数列的前n项和公式得,S =5a + d=25,即a +2d=5.因
n 5 1 1
2
{a +2d=5, (1+2n-1)n
为a =3,所以a +d=3,由 1 解得a =1,d=2,所以a =1+2(n-1)=2n-1,S =
2 1 a +d=3, 1 n n 2
1
S 42
=n2,所以 4 = =4.
a -a 7-3
4 2
3.C 解析 由等差数列的性质可得,
11
(a +a )
a a a a a +a a +a 2 1 11 S 2×11-3 19
3 + 9 = 3 + 9 = 3 9= 1 11= = 11 = = .
b +b b +b 2b 2b 2b b +b 11 T 4×11-3 41
4 8 5 7 6 6 6 1 11 (b +b ) 11
2 1 11
4.BCD 解析 因为S =S >S ,所以S -S =a =0,S -S =a <0,所以d=a -a <0,故A错误,B正确;因为
6 7 8 7 6 7 8 7 8 8 7
13(a +a )
S S ,所以S 与S 均为S 的最大值,故C正确;因为2a =a +a ,由S = 1 13
5 6 6 7 8 6 7 n 7 1 13 13
2
14(a +a )
=0,S = 1 14 =7(a +a )<0,故D正确.
14 7 8
2
5.2 解析 设等差数列的公差为d.由题意得2(3a +3d)=3(2a +d)+6,即3d=6,解得d=2.
1 1
6.C 解析 设冬至日晷长为a ,小寒日晷长为a ,以此类推芒种日晷长为a ,因此a =13.5,a =2.5,
1 2 12 1 12
设从冬至到夏至过程中,相邻两个节气日晷长的变化量为d,则2.5=13.5+(12-1)d,解得d=-1,立春
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx日晷长为a =13.5+3×(-1)=10.5,夏至日晷长为a =13.5+12×(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日
4 13
(10.5+1.5)×10
晷长的和为 =60.
2
a
7.解 (1)已知S = n+n2+1,n∈N*.
n
2
a a
当n=1时,a = 1+2,解得a =4;当n=2时,a +a = 2+5,解得a =2,所以a +a =6.
1 1 1 2 2 1 2
2 2
a
因为S = n+n2+1,①
n
2
a
所以S = n+1+(n+1)2+1.②
n+1
2
a a
②-①得,a
n+1
= n+1− n+(n+1)2-n2,
2 2
整理得a +a =4n+2,n∈N*,
n n+1
所以(a +a )-(a +a )=[4(n+1)+2]-(4n+2)=4(常数),n∈N*,
n+1 n+2 n n+1
所以{a +a }是首项为6,公差为4的等差数列.
n n+1
(2)由(1)知,a +a =4(n-1)+2=4n-2,n∈N*,n≥2.
n-1 n
n
(6+4n-2)
当n为偶数时,S =(a +a )+(a +a )+…+(a +a )= =n2+n;
n 1 2 3 4 n-1 n 2
2
n-1
(10+4n-2)
当n为奇数时,S =a +(a +a )+(a +a )+…+(a +a )=4+ =n2+n+2.
n 1 2 3 4 5 n-1 n 2
2
{ n2+n,n为偶数,
综上所述,S =
n n2+n+2,n为奇数.
8.C 解析 根据题意可知,棋子每次移动的长度构成等差数列{a },首项为OP =a =1,公差为
n 1 1
n(n+1)
d=1,a n =1+n-1=n,S n = .
2
∵网格ABCD由99条横线和竖线构成,
∴每行每列有98个格子.
98×99
当n=98时,此次移动长度为98,出网格且多一格,S = =4 851,
99
2
∴棋子在网格上移动的轨迹长度为4 851-1=4 850.
9.C 解析 因为a +2T =1(n∈N*),
n n
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1 T
当n=1时,a +2T =1,即a +2a =1,所以a = ,所以 n +2T =1(n≥2,n∈N*),显然T ≠0,所以
1 1 1 1 1 n n
3 T
n-1
1 1 1 1 1 1
− =2(n≥2,n∈N*),所以数列{ }是首项为 = =3,公差为2的等差数列,所以
T T T T a T
n n-1 n 1 1 n
1 4 047
=3+2(n-1)=2n+1,即T n = ,所以a 2 024 =1-2T 2 024 = .
2n+1 4 049
10.ACD 解析 因为n≥2时,a =S -S =n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n;当n=1时,a =2满足a =2n,而且
n n n-1 1 n
n∈N*时,a -a =2,则{a }为等差数列,A正确;因为n≥2时,a =S -S =n2+1-(n-1)2-1=2n-1;当n=1
n+1 n n n n n-1
{ 2,n=1,
时,a =2不满足上式,得a = 因此数列{a }不是等差数列,B错误;因为a -
1 n n n+2
2n-1,n≥2,
a =2(n∈N*),所以{a }为隔项等差数列,且{a }是递增的正整数数列,则a -a >0,a -a =a +2-
n n n 2 1 3 2 1
a >0,2>a -a >0,且a -a ∈N*,有a -a =1,即a =a +1,于是a =a +2(n-1)=a -
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2n-1 1 1
1+2n-1,a =a +2(n-1)=a -1+2n,因此a =a -1+n,所以{a }为等差数列,C正确;因为
2n 2 1 n 1 n
a =2a (n∈N*),a ∈N*,n∈N*,a =2a ,即数列{a }是以a 为首项,2为公比的等比数列,a
2n n n 2n 2n-1 2n-1 1 2n-1
=2n-1a ,则a =2na ,从a 到a 中间恰有2n-2n-1-1=2n-1-1项,即a ,a ,…,a 是递增的正整
1 2n 1 2n-1 2n 2n-1+1 2n-1+2 2n-1
数,而2n-1a 到2na 中间有2n-2n-1-1=2n-1-1个递增的正整数,即(2n-1+1)a ,(2n-1+2)a ,…,(2n-1)a ,于是得
1 1 1 1 1
a =(2n-1+i)a ,i∈{1,2,…,2n-1-1}.又a =2n-1a ,a =2na ,令k=2n-1+i,i≤2n-1,i∈N,则a=ka ,又{k|
2n-1+i 1 2n-1 1 2n 1 k 1
k=2n-1+i,i≤2n-1,i∈N,n∈N*}=N*,故∀n∈N*,a =na ,显然{a }是等差数列,D正确.故选ACD.
n 1 n
11.1 344 解析 ∵S +S =2S +2(n∈N*,且n≥2),∴S -S =S -S +2,即b =b +2,∴数列{b }的
n+1 n-1 n n+1 n n n-1 n+1 n n
通项公式为b =3+2(n-2)=2n-1(n∈N*,且n≥2),观察表中各行规律可知,第n行的最后一项是数列
n
{a }的第2n-1项,∵27-1=127,∴a 在表中第8行第3列,∵b =a =2×8-1=15,且a +2d=a ,∴公
n 130 8 128 128 130
32×31
差d=2.∴第6行共有32个元素,则第6行所有项的和为11×32+ ×2=1 344.
2
2S
12.(1)证明 由 n+n=2a +1,变形为2S =2na +n-n2,记为①式,又当n≥2时,有
n n n
n
2S =2(n-1)a +n-1-(n-1)2,记为②式,①-②并整理可得(2n-2)a -(2n-2)a =2n-2,n≥2,n∈N*.即a -
n-1 n-1 n n-1 n
a =1,n≥2,n∈N*,所以{a }是等差数列.
n-1 n
(2)解 由题意可知a2=a a ,即(a +6)2=(a +3)(a +8),
7 4 9 1 1 1
解得a =-12,
1
所以a =-12+(n-1)×1=n-13,其中a
