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课时规范练 20 利用导数证明不等式
1.(15分)(2024·全国甲,文20)已知函数f(x)=a(x-1)-ln x+1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a≤2时,证明:当x>1时,f(x)sin x.
∀
1
3.(15分)(2024·湖南益阳模拟)已知函数f(x)= ax2-xln x.
2
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若a=2e,证明:f(x)0.若a≤0,则f'(x)<0,即f(x)
x
1 1
的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.若a>0,当0 时,f'(x)>0.故f(x)的
a a
1 1
单调递减区间为(0, ),单调递增区间为( ,+∞).
a a
1 1
综上,当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在区间(0, )上单调递减,在区间( ,
a a
+∞)上单调递增.
(2)证明 ∵a≤2,∴当x>1时,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x-1≥ex-1-2x+ln x+1,x>0.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx令g(x)=ex-1-2x+ln x+1,
1
则g'(x)=ex-1+ -2.
x
1
令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex-1- ,易得h'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,则h'(x)>h'(1)=0,即h(x)在区间
x2
(1,+∞)上单调递增,故g'(x)>g'(1)=0,即g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,∴g(x)>g(1)=0,即当x>1时,
f(x)0时,
ex ex ex
h'(x)<0,h(x)单调递减;当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时,函数h(x)取得极大值且为最
大值,最大值h(0)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
1
(2)证明 当a=1时,f(x)=ex- x2-x,所以f'(x)=ex-x-1,且f(0)=1.
2
要证f(x)>sin x,只需证f(x)>1.
①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因
此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;
②当x=0时,可得f(0)=1且sin 0=0,所以f(0)>sin 0,满足f(x)>sin x;
1 1 1
③当-20,且- x2-x=- (x+1)2+ >0,所以f(x)>0,因此f(x)>sin x.
2 2 2
综上可得, x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin x.
3.(1)解 由已知得f'(x)=ax-ln x-1.因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)≥0,即a
∀
lnx+1 lnx+1 lnx
≥ 恒成立.令h(x)= (x>0),则h'(x)=- ,所以当00,当x>1时,h'(x)<0,
x x x2
即h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因此h(x) =h(1)=1,所以a≥1,故实数a的取值范
max
围是[1,+∞).
1 1 1
(2)证明 若a=2e,要证f(x)0),则
x x x
x-1
t'(x)= ,所以当01时,t'(x)>0,所以t(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调
x2
1
递增,则t(x)
min
=t(1)=1,所以ln x+ ≥1.令φ(x)=ex-ex(x>0),则φ'(x)=e-ex,所以当00,
x
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx当x>1时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x) =φ(1)=0,所以ex-
max
ex≤0.
1
所以ex-ex0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a<0时,令f'(x)=0,解得x= √ - a .
2
√ a √ a √ a √ a
当0 - 时,f'(x)>0,f(x)在( - ,+∞)上单调递
2 2 2 2
增.
综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在(0, √ - a )内单调递减,在( √ - a ,
2 2
+∞)上单调递增.
(2)证明 当a=1时,f(x)=ln x+x2,要证明f(x)≤x2+x-1,即证ln x≤x-1,即证ln x-x+1≤0.设g(x)=ln x-
1-x
x+1,则g'(x)= ,令g'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,
x
g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在x=1处取得极大值,且极大值为最大值,所以g(x)≤g(1)=0,即ln
x-x+1≤0.f(x)≤x2+x-1得证.
1 1 1 1
(3)证明 由(2)ln x≤x-1(当且仅当x=1时,等号成立),令x=1+ ,则ln(1+ )< ,所以ln(1+ )
n2 n2 n2 22
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ln(1+ )+…+ln(1+ )< + +…+ < + +…+ = − + − +…+
32 n2 22 32 n2 1×2 2×3 n(n-1) 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− =1- <1=ln e,即ln[(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )]
