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课时规范练 34 复数
基础巩固练
1.(2025·八省联考,3)|2-4i|=( )
A.2 B.4
C.2√5 D.6
2.(2024·全国甲,理1)若z=5+i,则i(z+z)=( )
A.10i B.2i
C.10 D.2
3.(2024·河北邯郸模拟)已知复数z是方程x2+4x+5=0的一个根,且复数z在复平面内对
应的点位于第三象限,则z=( )
A.2-i B.2+i
C.-2-i D.-2+i
z
4.(2024·山东临沂模拟)在复平面内,复数z ,z 对应的点分别是(2,-1),(1,-3),则 2的虚部是(
1 2
z
1
)
A.i B.-i
C.1 D.-1
5.(多选题)(2025·湖南邵阳开学考试)已知复数z=2+3i,下列说法正确的是( )
A.z的实部为2 B.z的虚部为3i
C.z=2-3i D.|z|=√13
i7
6.(多选题)(2025·陕西汉中开学考试)若复数z= ,则( )
1-i
1+i
A.z的共轭复数 z=
2
√2
B.|z|=
2
C.复数z的实部与虚部相等
D.复数z在复平面内对应的点在第四象限
7.已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-2
B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2
D.a=-1,b=-2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx8.(2024·河北沧州模拟)若两个复数的实部相等或虚部相等,则称这两个复数为同部复数.
已知z=(1-i)3,则下列数是z的同部复数的是( )
A.2+i
B.3-2i
C.4-i
D.-3+2i
2
9.(多选题)(2024·山东潍坊模拟)下面是关于复数z= (i为虚数单位)的命题,其中真命
-1+i
题有( )
A.z2=2i
B.z的共轭复数为1+i
C.z的虚部为-1
D.|z|=√2
10.(2024·辽宁辽阳模拟)写出一个满足下列两个条件的复数:z= .
①z2的实部为5;②z的虚部不为0.
z
11.(2025·黑龙江模拟)已知复数z的实部为2,且 为纯虚数,则复数z= .
2+i
12.(2024·天津,10)已知i是虚数单位,复数(√5+i)(√5-2i)= .
13.(13分)若复数z满足(1-i)·z=3+i,其中i为虚数单位,其共轭复数为z.
(1)求复数z和|z|;
(2)若z·z=a+bi(a,b∈R),求实数a,b的值.
综合提升练
1+i
14.(2024·河北张家口期末)复数z=( )2 025的虚部为( )
1-i
A.-1 B.-i
C.1 D.i
15.(2025·江苏苏州开学考试)已知i是虚数单位,5+7i=(1+i)z,则|z+1|=( )
A.5√2 B.√37
C.6 D.50
16.(多选题)(2025·安徽阜阳开学考试)已知复数z ,z ,下列说法正确的是( )
1 2
A.若z2<0,则z 为纯虚数
1 1
B.若|z |=|z |,则z ,z 互为共轭复数
1 2 1 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxC.若|z |=1,则z 在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心,1为半径的圆
1 1
D.若z >z ,则z2>z2
1 2 1 2
17.(2024·湖北圆创联考模拟)如图,正方形OABC中,点A对应的复数是3+5i,则顶点B对
应的复数是( )
A.-2+8i
B.2-8i
C.-1+7i
D.-2+7i
18.(2024·新疆期末)已知a∈R,关于x的方程x2-ax+3=0的一个根为x=-1+√2i,则a=
.
19.(13分)(2024·北京顺义期中)已知复数z =cos θ-i,z =sin θ+i,其中θ∈R.
1 2
(1)求z z +z z 的值;
1 1 2 2
(2)求|z z |的最大值并说明取得最大值时θ的取值集合.
1 2
创新应用练
20.(2024·浙江杭州模拟)已知方程x2+ix+1=0(其中i为虚数单位)的两根分别为复数z ,z ,
1 2
则下列选项正确的是( )
A.z2=z2>0 B.z +z =z z
1 2 1 2 1 2
z z
C.|1+z |=|1+z | D. 1 2 =i
1 2
z +z
1 2
答案：
1.C 解析 由题意|2-4i|=√22+42=2√5.故选C.
2.A 解析 由已知得i(z+z)=i(5-i+5+i)=10i.故选A.
3.D 解析 复数范围内方程x2+4x+5=0的两根为x=-2±i.因为复数z在复平面内对应的点位于
第三象限,所以z=-2-i,则z=-2+i.
4.D 解析 复数z ,z 在复平面内对应的点分别是(2,-1),(1,-3),则z =2-i,z =1-3i,
1 2 1 2
z 1-3i (1-3i)(2+i) 5-5i
2= = = =1-i,其虚部为-1.
z 2-i (2-i)(2+i) 5
1
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx5.ACD 解析 因为z=2+3i,所以实部为2,虚部为3,z=2-3i,|z|=√13.故选ACD.
i7 -i -i(1+i) 1-i 1 i 1 i 1+i
6.ABD 解析 z= = = = = − . 对于A,z= + = ,故A正确;对
1-i 1-i (1-i)(1+i) 2 2 2 2 2 2
√ 1 1 √2 1 i 1 1
于B,|z|= ( ) 2+(- ) 2= ,故B正确;对于C,z= − ,实部为 ,虚部为- ,故C错误;对于D,z=
2 2 2 2 2 2 2
1 i 1 1
− 在复平面内对应点( ,- ),在第四象限,故D正确,故选ABD.
2 2 2 2
7.A 解析 ∵z=1-2i,∴z=1+2i,
∴z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0,
{a+b+1=0, { a=1,
∴ 解得 故选A.
2a-2=0, b=-2.
8.B 解析 由于z=(1-i)2(1-i)=-2i(1-i)=-2-2i,其实部和虚部均为-2,而3-2i与z的虚部相等,其余选
项均不符合题意,所以3-2i是z的同部复数.
2
9.ACD 解析 因为复数z= =-1-i,所以z的虚部为-1,z的共轭复数为-1+i,|z|=
-1+i
√(-1)2+(-1)2=√2,z2=(-1-i)2=2i,故选ACD.
10.3+2i(答案不唯一) 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,依题意可得a2-b2=5,b≠0.故可取
a=3,b=2,z=3+2i.
z
11.2-4i 解析 由题设z=2+yi, =ti(y,t∈R,t≠0),则2+yi=-t+2ti,
2+i
所以t=-2,y=-4,故z=2-4i.
12.7-√5i 解析 (√5+i)(√5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√5i.
3+i (3+i)(1+i) 2+4i
13.解 (1)由(1-i)·z=3+i,得z= = = =1+2i;|z|=√12+22=√5.
1-i (1-i)(1+i) 2
(2)由(1)知,z=1-2i,则z·z=(1+2i)(1-2i)=5,由z·z=a+bi,得a+bi=5,所以a=5,b=0.
1+i (1+i)2
14.C 解析 因为 = =i,
1-i (1-i)(1+i)
1+i
又i2=-1,i3=-i,i4=1,所以z=( )2 025=i2 025=i506×4+1=(i4)506× i=i,所以z=i,所以z的虚部为1.故选C.
1-i
5+7i (5+7i)·(1-i) 12+2i
15.A 解析 由5+7i=(1+i)z,得z= = = =6+i,
1+i (1+i)·(1-i) 2
所以z+1=7+i,则|z+1|=√72+12=5√2.故选A.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx16.AC 解析 对于A,设z =a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi<0,则
{a2-b2<0,
得
{a=0,
故A正
1 1 2ab=0, b≠0,
确;对于B,取z =1,z =i,那么|z |=|z |=1,但z ,z 不是共轭复数,故B错误;对于C,设z 在复平面内对
1 2 1 2 1 2 1
应的点为Z ,由|z |=1知,点Z 在以点(0,0)为圆心,1为半径的圆上;若点Z 在以点(0,0)为圆心,1为
1 1 1 1
半径的圆上,则点Z 对应的复数z 满足|z |=1,故C正确;对于D,取z =3,z =-4,则z2−z2=9-
1 1 1 1 2 1 2
16=-7<0,故D错误.故选AC.
17.A 解析 由题意得⃗OA=(3,5),不妨设点C对应的复数为a+bi(a<0,b>0),则⃗OC=(a,b),由
{a2+b2=32+52, {a=-5,
⃗OA⊥⃗OC,|⃗OA|=|⃗OC|,得 ⇒ 即点C对应的复数为-5+3i,由
3a+5b=0 b=3,
⃗OB=⃗OA+⃗OC得,点B对应复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.
18.-2 解析 因为x2-ax+3=0的一个根为x=-1+√2i,
所以(-1+√2i)2-a(-1+√2i)+3=0,即(2+a)-√2(2+a)i=0,则a=-2.
19.解 (1)由题知z z =(cos θ-i)(cos θ+i)=cos2θ-i2=cos2θ+1;z z =(sin θ+i)·(sin θ-i)=sin2θ-i2=sin2θ+1,
1 1 2 2
所以z z +z z =cos2θ+sin2θ+2=3.
1 1 2 2
(2)由题得|z z |=|(cos θ-i)(sin θ+i)|=|sin θcos θ+1+(cos θ-sin θ)i|=
1 2
√(sinθcosθ+1)2+(cosθ-sinθ)2=√sin2θcos2θ+2=
√1
sin22θ+2,又θ∈R,所以当sin
4
2θ=±1,即2θ=kπ+
π
,k∈Z时,|z
1
z
2
|取得最大值为√1
+2=
3
,
2 4 2
3 { kπ π }
故|z z |最大值为 ,此时θ的取值构成的集合为 θ|θ= + ,k∈Z .
1 2
2 2 4
20.D 解析 设方程x2+ix+1=0的根为z=a+bi(a,b∈R),代入方程,得(a+bi)2+i(a+bi)+1=0,整理得
(a2-b2-b+1)+(a+2ab)i=0,
{
a=0,
{a2-b2-b+1=0,
故 则 -1±√5
a+2ab=0, b= ,
2
-1+√5 -1-√5
不妨令z = i,z = i.
1 2
2 2
√5-3 3+√5
对于A,因为z2= ,z2=- ,即 z2≠z2,故A错误;对于B,z
1
+z
2
=-i≠z
1
z
2
=1,故B错误;对于C,|
1 2 2 2 1 2
| -1+√5 | √ -1+√5 √5-√5
1+z 1 |= 1+ i = 1+( ) 2= ,|1+z 2 |=
2 2 2
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1+ 2 i = 1+( 2 ) 2= 2 ,所以|1+z 1 |≠|1+z 2 |,故C错误;对于D, z 1 +z 2 = -i =i,故
1 2
D正确.故选D
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