文档内容
课时规范练 48 直线的倾斜角与斜率、直线的
方程
基础巩固练
1.(2024·陕西西安二模)直线2x-2√3y-1=0的倾斜角α为( )
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
2.如图,若直线l ,l ,l 的斜率分别为k ,k ,k ,则( )
1 2 3 1 2 3
A.k 0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(多选题)(2025·北京名校高三一轮复习)若点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的
y-2
△ABC的内部运动(包含边界),令k= ,则k的可能取值为( )
x-1
1 1
A. B.
5 2
3
C.1 D.
2
8.(多选题)(2024·广东广州培正中学校考)下列说法正确的是( )
√3
A.若直线斜率为 ,则它的倾斜角为30°
3
B.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°
C.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4)
3
D.若直线的斜率为 ,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点
4
9.过点A(2,b)和点B(3,-2)的直线的倾斜角为135°,则b的值是 .
10.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1,且过定点A(-3,8),则直线l的方程为
.
11.已知直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值,当截距之和最小时,直线的方程
为 .
综合提升练
12.(2024·浙江丽水模拟)直线x+(a2+1)y-1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( )
π 3π
A.[0, ] B.[ ,π)
4 4
π π π 3π
C.[ , ) D.[ , ]
4 2 2 4
13.已知点A(2,3),B(-2,-1),若直线l:y=k(x-1)-2与线段AB有公共点,则k的取值范围是(
)
1
A.[- ,5]
3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1
B.(-∞,- ]
3
C.[5,+∞)
D.(-∞,- 1 ]∪[5,+∞)
3
14.(13分)(2025·上海普陀检测)将一张长为2宽为1的矩形纸片OABC置于平面直角坐
标系中,其中O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形纸片折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直
线的斜率为k,求k的取值范围.
15.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B, AOB的面积为S(O为坐标原点),
求S的最小值并求此时直线l的方程.
△
创新应用练
16.(2025·北京名校高三一轮复习)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如
图所示,其中点A 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间(单位:时)和加工的零
i
件数(单位:件),点B 的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,
i
i=1,2,3.记Q 为第i名工人在这一天中加工的零件总数,记P 为第i名工人在这一天中平
i i
均加工的零件数,则Q ,Q ,Q 中的最大值与P ,P ,P 中的最大值分别是( )
1 2 3 1 2 3
A.Q ,P B.Q ,P
1 1 1 2
C.Q ,P D.Q ,P
2 1 2 2
17.已知点P(2cos 10°,2sin 10°),Q(2cos 130°,2sin 130°),则直线PQ的倾斜角为 .
答案：
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx√3 √3 √3
1.A 解析 将2x-2√3y-1=0变形可得y= x- ,所以直线斜率k=tan α= ,因为0≤α<π,所以
3 6 3
π
α= .
6
2.A 解析 设直线l ,l ,l 的倾斜角分别为α ,α ,α ,则由题图知0°<α <α <90°<α <180°,所以tan
1 2 3 1 2 3 3 2 1
α <0,tan α >tan α >0,即k <0,k >k >0.
1 2 3 1 2 3
2
3.B 解析 因为直线l的一个方向向量为(3,2),所以直线的斜率k= .又直线l过点(3,1),所以直
3
2
线l的方程为y-1= (x-3),化简得2x-3y-3=0.
3
5π
4.C 解析 直线l的方程为y=x+1,它的倾斜角为45°,l绕点(0,1)顺时针旋转 ,即l绕点(0,1)顺
18
时针旋转50°,得到直线l ,则直线l 仍过定点(0,1),且直线l 与x轴负半轴夹角为50°-45°=5°,即直
2 2 2
线l 的倾斜角为175°,所以直线l 的斜率小于0,所以l 不经过第三象限.
2 2 2
5.B 解析 因为直线l ,l 的倾斜角分别为α,β,所以α∈[0,π),β∈[0,π).若tan α=tan β,则α=β;若
1 2
π
α=β= ,则tan α,tan β都不存在.所以“α=β”是“tan α=tan β”的必要不充分条件.
2
A C
6.BCD 解析 由题意知A,B,C均不为0,直线方程可化为y=- x- . 因为AB>0,知直线的斜率-
B B
A C
<0.因为BC>0,知直线在y轴上的截距- <0.可知直线经过第二、三、四象限.
B B
y-2
7.BC 解析 作出以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC所表示的平面区域,如图.因为 的
x-1
几何意义是过动点P(x,y)与定点M(1,2)的直线的斜率,结合图象,可得当过A点时,此时直线AM
1
的斜率最小,最小值为k = ;当过B点时,此时直线BM的斜率最大,最大值为k =1,所以k的取
AM BM
4
1 1
值范围为[ ,1],结合选项知,k的可能取值为 ,1.
4 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx√3
8.ABC 解析 对于A,设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则由题意得tan α= ,所以α=30°,故A
3
正确;对于B,因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直,其倾斜角为90°,故B正确;对于C,因为
直线过点(1,2),且斜率为tan 45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1,即直线过点
3 3 3
(3,4),故C正确;对于D,不妨取y= x,满足直线的斜率为 ,但显然直线y= x不过(1,1)与(5,4)两
4 4 4
点,故D错误.故选ABC.
b+2
9.-1 解析 ∵A(2,b),B(3,-2),∴k = =-b-2,则-b-2=tan 135°=-1,解得b=-1.
AB
2-3
x y -3 8
10.4x+3y-12=0或2x+y-2=0 解析 设直线l的方程的截距式为 + =1.则 + =1,解得
a a+1 a a+1
x y x y
a=3或a=1,则直线l的方程是 + =1或 + =1,即4x+3y-12=0或2x+y-2=0.
3 3+1 1 1+1
11.2x+y-6=0 解析 直线kx-y+4-k=0可变形为k(x-1)-y+4=0,所以直线过定点P(1,4),令
4 4
x=0,y=4-k,所以直线与y轴的交点为A(0,4-k),令y=0,x=1- ,所以直线与x轴的交点为B(1- ,0),
k k
{4-k>0,
由 4 得k<0,-k>0,所以4-k+1- 4 =5+(-k)+(- 4 )≥5+2 √ (-k)·(- 4 ) =5+4=9,当且仅当-
1- >0, k k k
k
4
k=- ,即k=-2时取等号,所以此时直线的方程为2x+y-6=0.
k
1
12.B 解析 由题知a2+1≠0,直线x+(a2+1)y-1=0(a∈R)的斜率为- ,
a2+1
1 3π
由于0>- ≥-1,设直线的倾斜角为α,则0≤α<π,-1≤tan α<0,所以 ≤α<π.
a2+1 4
13.D 解析 直线l:y=k(x-1)-2过定点P(1,-2),
3-(-2)
又k = =5,
PA
2-1
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx-1-(-2) 1 1
k = =- ,如图,由图可知,若直线l与线段AB有公共点,则k的取值范围是(-∞,-
PB
-2-1 3 3
]∪[5,+∞).
14.解 如图,要想使折叠后O点落在线段BC上,可取BC上任意一点D,作线段OD的垂直平分线
1 1
l,以l为折痕可使O与D重合.因为k ≥k = ,所以k=- ≥-2,且k<0.又当折叠后O与C重合
OD OB
2 k
OD
时,k=0,所以-2≤k≤0,所以k的取值范围是[-2,0].
15.(1)证明 直线l的方程可化为y-1=k(x+2),所以直线l经过定点(-2,1).
1+2k
(2)解 当k≠0时,直线在x轴上的截距为- ,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象
k
{
1+2k
- <-2,
限,则需有
k
解得k>0;
1+2k>1,
当k=0时,直线方程为y=1,符合题意.
综上,k的取值范围是[0,+∞).
1+2k
(3)解 由题意可知k≠0,再由l的方程,得A(- ,0),B(0,1+2k).
k
{
1+2k
- <-2,
依题意得
k
解得k>0.
1+2k>1,
1 1 |1+2k| 1 (1+2k)2 1 1 1
∵S= ·|OA|·|OB|= · ·|1+2k|= · = (4k+ +4)≥ ×(2×2+4)=4,
2 2 k 2 k 2 k 2
1 1
当且仅当4k= ,即k= 时等号成立,∴S =4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
min
k 2
16.A 解析 ①因为Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q =A 的纵坐标+B 的纵坐
i 1 1 1
标;Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标;Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标;结合图象可知:Q ,Q ,Q 中的最大
2 2 2 3 3 3 1 2 3
值为Q ;
1
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx②因为P为第i名工人在这一天中平均加工的零件数,则P为线段AB中点与原点连线的斜率,
i i i i
结合右图可知:P ,P ,P 中的最大值是P .
1 2 3 1
17.160° 解析 (方法一)设直线PQ的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),则tan θ=
√3 3 3 √3
cos10°- sin10° sin10°- cos10°
2sin130°-2sin10° sin(120°+10°)-sin10° 2 2 2 2 √3sin(10°-30°)
= = = =
2cos130°-2cos10° cos(120°+10°)-cos10° 3 √3 √3 3 √3sin(10°+60°)
- cos10°- sin10° sin10°+ cos10°
2 2 2 2
sin20° sin20°
=- =- =-tan 20°=tan 160°.
sin70° cos20°
∴直线PQ的倾斜角为160°.
(方法二)由三角函数的定义可知:点P,Q在圆x2+y2=4上,如图所示,设M为直线PQ与x轴的交点,
则∠POM=10°,∠QOM=130°,∴∠POQ=120°,
又|OP|=|OQ|,∴∠OQM=30°,∴∠QMx=∠QOM+∠OQM=160°,
∴直线PQ的倾斜角为160°
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468
也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
