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课时规范练 15 函数模型及其应用
基础巩固练
1.(2024·云南昆明模拟)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:
一次购 1~ 11~ 51~ 101~ 300件
买件数 10件 50件 100件 300件 以上
每件
37 32 30 27 25
价格/元
张师傅准备用2 900元到该批发市场购买这种玩具,赠送给一所幼儿园,张师傅最多可买
这种玩具( )
A.116件 B.110件
C.107件 D.106件
2.(2024·湖南长沙模拟)青花瓷是中国瓷器的主流品种之一.如图,这是景德镇青花瓷,现往
该青花瓷中匀速注水,则水的高度y与时间x的函数图象大致是( )
3.(2024·浙江绍兴模拟)点声源在空间中传播时,衰减量ΔL与传播距离r(单位:米)的关系
πr2
式为ΔL=10lg (单位:dB),则r从10米变化到40米时,衰减量的增加值约为( )(参
4
考数据:lg 5≈0.7)
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxA.9 dB B.12 dB
C.15 dB D.18 dB
4.(2024·河南驻马店模拟)水雾喷头布置的基本原则是:保护对象的水雾喷头数量应根据
设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性,按水雾喷头流量q(单位:L/min)(计算公式为
S·W
q=K )和保护对象的水雾喷头数量N(计算公式为N= )计算确定,其中P为水
√10P
q
雾喷头的工作压力(单位:MPa),K为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商提供),S为保
护对象的保护面积(单位:m2),W为保护对象的设计喷雾强度(单位:L/min·m2).水雾喷头的
布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象,如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.
当水雾喷头的工作压力P为0.35 MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护
面积S为14 m2,保护对象的设计喷雾强度W为20 L/min·m2时,保护对象的水雾喷头的数
量N约为(参考数据:√3.5≈1.87)( )
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
5.(2024·四川成都模拟)如图为某无人机飞行时,从某时刻开始15分钟内的速度V(x)(单
位:米/分)与时间x(单位:分)的关系.若定义“速度差函数”v(x)为无人机在时间段[0,x]内
的最大速度与最小速度的差,则v(x)的图象为( )
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx6.(2024·陕西咸阳模拟)陕西榆林神木石峁遗址发现于1976年,经过数十年的发掘研究,
已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址,出土了大量玉器、陶器、壁
画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹.2019年科技人员对遗迹中发现的某具人类骨骼化石
A
进行碳14测定年代,公式为t=5 730ln( 0)÷0.693(其中t为样本距今年代,A 为现代活体
0
A
中碳14放射性丰度,A为测定样本中碳14放射性丰度),已知现代活体中碳14放射性丰
度A =1.2×10-12,该人类骨骼碳14放射性丰度A=7.4×10-13,则该骨骼化石距今的年份大约
0
为( )(参考数据:ln 1.621 6≈0.483 4,ln 1.7≈0.530 6,ln 1.5≈0.405 5,结果保留整数)
A.3 353 B.3 997
C.4 125 D.4 387
7.(2024·江苏常州模拟)载人飞船进入太空需要搭载运载火箭,火箭在发射时会产生巨大
的噪声,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足关系式:d(x)=10lg
x
.若某人交谈时的声强级约为60 dB,且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比
10-12
值约为107.8,则火箭发射时的声强级约为 dB.
8.(13分)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示.谷底O在水平
线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D
1
到MN的距离h (单位:米)与D到OO'的距离a(单位:米)之间满足关系式h = a2;右侧曲
1 1
40
线BO上任一点F到MN的距离h (单位:米)与F到OO'的距离b(单位:米)之间满足关系
2
1
式h =- b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
2
800
(1)求桥AB的长度;
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上
3
(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价 k(单位:万元)(k>0),问
2
O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
9.(13分)(2024·青海西宁模拟)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻
炼的课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y
与当天锻炼时间x(单位:分)的函数关系.要求如下:(1)函数在区间[0,60]上单调递增;(2)每
天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;(3)每天运动时间为20分钟时,当天得分为3分;
(4)每天最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择:
x
①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=k·log ( +2)+n(k>0).
2
10
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式;
(2)求每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼多少分钟.(参考数据:√2≈1.414,结果保留整数)
综合提升练
10.(2024·福建厦门模拟)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度,当血药浓度介于最
低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用.某种药物服用1单位后,体内血药浓度
变化情况如图所示(服用药物时间对应t时),则下列说法中错误的是( )
A.首次服药1单位后30分钟时,药物已经在发挥疗效
B.若每次服药1单位,首次服药1小时血药浓度达到峰值
C.若首次服药1单位,3小时后再次服药1单位,一定不会发生药物中毒
D.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx11.(2024·甘肃武威模拟)随着新能源技术的发展,新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.
某新能源汽车企业生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元,此外每生产x辆该
1 9
汽车另需增加投资g(x)万元,当该款汽车年产量低于400辆时,g(x)= x2+ x,当年产量不
80 2
360 000
低于400辆时,g(x)=16x+ -3 500,该款汽车售价为每辆15万元,且生产的汽车均
x
能售完,则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元.
12.(13分)(2024·山东聊城模拟)科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料,该钛合金
产品的某种性能指标值y是这种新材料的含量x(单位:克)的函数.研究过程中的部分数
据如下表:
x/克 0 2 6 10 …
1
y -4 8 8 …
9
1
已知当x≥7时,y=( )x-m,其中m为常数;当0≤x<7时,y和x的关系为以下三种函数模型
3
中的一个:①y=ax2+bx+c(a≠0);②y=k·ax(a>0且a≠1,k≠0);③y=klog x(a>0且a≠1,k≠0),其
a
中k,a,b,c均为常数.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述当0≤x<7时x,y之间的关系,并求出当0≤x<7时f(x)
的解析式;
(2)求该新材料的含量x为多少克时,产品的性能达到最大.
创新应用练
13.(2024·湖北腾云联盟模拟)心理学家有时使用函数L(t)=A(1-e-kt)来测定人在时间t分钟
内能够记忆的量L(t),其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生有100个单
词需要记忆,心理学家测定出在5分钟内该学生记忆25个单词,则该学生记忆率k所在
区间为( )
1 1 1
A.(0, ) B.( , )
20 20 15
1 1 1 1
C.( , ) D.( , )
15 10 10 5
14.(13分)(2024·江苏扬州模拟)某市为了刺激当地消费,决定发放一批消费券.已知每投放
a(07,
若多次投放消费券,则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应
时刻对消费总额提高的百分比之和.
(1)若第一次投放2亿元消费券,则接下来哪段时间内能使消费总额至少提高40%?
(2)政府第一次投放2亿元消费券,4天后准备再次投放m亿元的消费券,将第二次投放消
费券后过了x天(x∈R,0≤x≤2)时全市消费总额提高的百分比记为g(x).若存在x ∈[0,2],
0
使得g(x )≥80%,试求m的最小值.
0
答案：
37x,1≤x≤10,
{
32x,11≤x≤50,
1.C 解析 设购买的件数为x,花费为y元,则y= 当x=107时,y=27×107=2
30x,51≤x≤100,
27x,101≤x≤300,
25x,x>300,
889<2 990;当x=108时,y=27×108=2 916>2 900,所以张师傅最多可购买这种玩具107件,故选C.
2.C 解析 由图可知该青花瓷上、下细,中间粗,则在匀速注水的过程中,水的高度一直增高,且开
始时水的高度增高的速度越来越慢,到达瓷瓶最粗处之后,水的高度增高的速度越来越快,直到注
满水,结合选项所给图象,只有C选项符合,故选C.
3.B 解析 当r=10时,ΔL =10lg 25π;当r=40时,ΔL =10lg 400π,则衰减量的增加值约为ΔL -
1 2 2
ΔL =10lg 400π-10lg 25π=40lg 2=40(lg 10-lg 5)≈40×(1-0.7)=12 dB,故选B.
1
S·W
4.C 解析 依题意,P=0.35 MPa,K=24.96,S=14 m2,W=20 L/min·m2,由q=K ,N= ,得
√10P
q
S·W 14×20 280
N= = ≈ ≈6,所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个,
K√10P 24.96×√3.5 24.96×1.87
故选C.
40
5.C 解析 由题意可得,当x∈[0,6]时,无人机做匀加速运动,V(x)=60+ x,“速度差函数”v(x)=
3
40
x;当x∈[6,10]时,无人机做匀速运动,V(x)=140,“速度差函数”v(x)=80;当x∈[10,12]时,无人机
3
做匀加速运动,V(x)=40+10x,“速度差函数”v(x)=-20+10x;当x∈[12,15]时,无人机做匀减速运动,
“速度差函数”v(x)=100,结合选项所给图象,C选项为“速度差函数”的图象,故选C.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxA 1.2×10-12
6.B 解析 由题知, 0= ≈1.621 6,∴t=5 730ln 1.621 6÷0.693≈5 730×0.483
A 7.4×10-13
4÷0.693≈3 997,故选B.
x
7.138 解析 设此人交谈时的声强为x W/m2,则火箭发射时的声强为107.8x ,且60=10lg 1 ,解
1 1
10-12
101.8
得x =10-6,则火箭发射时的声强约为107.8×10-6=101.8 W/m2,因此d(101.8)=10lg =138 dB,所以
1
10-12
火箭发射时的声强级约为138 dB.
8.解 (1)设AA ,BB ,CD ,EF 都与MN垂直,A ,B ,D ,F 是相应垂足.
1 1 1 1 1 1 1 1
1
由条件知,当O'B=40时,BB
1
=- ×403+6×40=160,则AA
1
=160.
800
1
由 O'A2=160,得O'A=80.
40
所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
1 1
设F(x,y ),x∈(0,40),则y =- x3+6x,EF=160-y =160+ x3-6x.
2 2 2
800 800
因为CE=80,所以O'C=80-x.
1 1 1
设D(x-80,y ),则y = (80-x)2,所以CD=160-y =160- (80-x)2=- x2+4x.
1 1 1
40 40 40
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),
则f(x)=k ( 160+ 1 x3-6x ) + 3 k(- 1 x2+4x)=k ( 1 x3- 3 x2+160 ) (00),当满足图象同时过点(0,0),(20,3)时,b=0,k= ,即y= x,当
20 20
x=60时,y=9>6,不合题意.
由题图可知,该函数的增长速度较慢,对于模型②y=k·1.2x+b(k>0),是指数型的函数,其增长是爆炸
型增长,故②不合适.
x
对于模型③y=k·log ( +2)+n(k>0),对数型函数增长速度较慢,符合题意,故选模型③.
2
10
{ klog 2+n=0,
2
代入点(0,0),(20,3),则 20
klog ( +2)+n=3,
2 10
x
解得k=3,n=-3,故所求函数为y=3log ( +2)-3.
2
10
60
经检验,当x=60时,y=3log ( +2)-3=6,符合题意.
2
10
x
综上,模型③合适,其函数解析式为y=3log ( +2)-3.
2
10
x x 5
(2)∵每天得分不少于4.5分,∴3log
2
( +2)-3≥4.5,即log
2
( +2)≥ ,
10 10 2
∴ x +2 5 =4√2,即x≥40√2-20≈40×1.414-20≈37,∴至少需要锻炼37分钟.
10
≥22
10.C 解析 由图象知,当服药半小时后,血药浓度大于最低有效浓度,故药物已发挥疗效,故A正
确;由图象可知,首次服药1小时血药浓度达到峰值,故B正确;首次服药1单位,3小时后再次服药
1单位,经过1小时后,血药浓度超过3a+6a=9a,会发生药物中毒,故C错误;服用该药物5.5小时
血药浓度达到最低有效浓度,再次服药1单位可使血药浓度超过最低有效浓度且不超过最低中
毒浓度,药物持续发挥治疗作用,故D正确,故选C.
11.2 200 解析 设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为f(x)(万元),
1 9
{ 15x-( x2+ x)-100,0≤x<400,
80 2
由题意可知,f(x)=
360 000
15x-(16x+ -3 500)-100,x≥400,
x
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{- x2+ x-100,0≤x<400,
80 2
即f(x)=
360 000
-x- +3 400,x≥400,
x
360 000
当0≤x<400时,由二次函数的知识得f(x)0且a≠1,k≠0),则k=-4,此时y=-4ax(a>0且a≠1),不满足x=2时,y=8,故不能选;
若选③y=klog x(a>0且a≠1,k≠0),x=0时无意义,故不能选.
a
所以选①的函数模型来描述x,y之间的关系.
{
c=-4,
当0≤x<7时,由y=ax2+bx+c(a≠0),得 4a+2b-4=8, 解得a=-1,b=8,所以当0≤x<7时,y=-
36a+6b-4=8,
x2+8x-4.
1 1 1 1
(2)由(1)知当0≤x<7时,y=-x2+8x-4;当x≥7时,y=( )x-m,将x=10,y= 代入,有 =( )10-m,即3-
3 9 9 3
1
{
(
1
)
x-8,x≥7,
2=3m-10,解得m=8,即当x≥7时,y=( )x-8,综上有y= 3
3
-x2+8x-4,0≤x<7.
1
当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,所以当x=4时,取到最大值y =12;当x≥7时,y=( )x-8单调
max
3
1
递减,所以当x=7时,y =( )7-8=3,故当新材料的含量为4克时,该钛合金产品的此种性能指标值
max
3
达到最大.
13.B 解析 将A=100,t=5,L=25代入L(t)=A(1-e-kt),解得e-5k= 3 ,因为 - 1 =e,( 3 )-4= 256 >e,且
4
(e 4)-4
4 81
-5× 1 - 1 3 1 3 64
函数y=x-4在区间(0,+∞)上单调递减,所以 e 20=e 4> 4 ,因为( e - 3 )-3=e,( 4 )-3= 27 -5k>-5× ,解得 7时,
3-x
f(x)=0≥2,不成立.
综上,1≤x≤5,即接下来的1~5天内,能使消费总额至少提高40%.
(2)记第一次投放2亿元消费券对全市消费总额提高的百分比为y ,第二次投放m亿元消费券对
1
全市消费总额提高的百分比为y .
2
2[7-(x+4)] 3-x m 3+x
当0≤x≤2时,y 1 = = ,y 2 = · ,若存在x 0 ∈[0,2],使得g(x 0 )=y 1 +y 2 =
10 5 10 3-x
3-x m 3+x 4 -2x2+4x +6
0+ · 0≥80%= 有解,即m≥ 0 0 有解.
5 10 3-x 5 3+x
0 0
-2(t-3)2+4(t-3)+6 -2t2+16t-24 24
令t=3+x ,则t∈[3,5],x =t-3,令h(t)= = =-(2t+ )
0 0
t t t
24
+16(3≤t≤5),∵y=2t+ 在区间[3,2 ]上单调递减,在区间[2 ,5]上单调递增,∴h(t)在区间[3,2
√3 √3
t
6 6 -2x2+4x+6
√3]上单调递增,在区间[2√3,5]上单调递减,又h(3)=2,h(5)= ,∴h(t)
min
= ,即( )
min
=
5 5 3+x
6 6 6
,∴m≥ ,则m的最小值为
5 5 5
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