课时规范练 14 函数与方程
基础巩固练
1.方程ln x=4-2x的根所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
1
2.若函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)= +5的图象交点的横坐标所在的区间为(k,k+1),则
x
整数k可能为( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
3.(2024·北京西城模拟)函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
{ x2-5,x≤-2,
4.(2024·北京朝阳模拟)已知函数f(x)= 若方程f(x)=1的实根在区间
xlg(x+2),x>-2,
(k,k+1),k∈Z上,则k的最大值是( )
A.-3 B.-2
C.1 D.2
1
{
( )
x,x≤0,
5.(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)= 2 g(x)=f(x)-x-a,若g(x)有2个零点,则实
1
ln ,x>0,
x
数a的最小值是( )
A.2 B.0
C.-1 D.1
6.(多选题)(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)=|1-2x|,实数a,b(a<b)是函数y=f(x)-m的两
个零点,则下列结论正确的有( )
A.m>1
B.0<m<1
C.2a+2b=2
D.a+b<0
7.(2024·云南昆明期末)设函数f(x)=ln(|x|+1),g(x)=-x2+a,若曲线f(x)与曲线g(x)有两个交
点,则实数a的取值范围是 .
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8.(2024·山东济南模拟)函数f(x)=2sin xsin(x+ )-x2的零点个数为 .
2
1
9.(2024·河北沧州模拟)若函数f(x)=x2-ax+1在区间( ,3)上有零点,则实数a的取值范围
2
是 .
综合提升练
1
10.(2024·甘肃兰州模拟)已知x 是函数f(x)=( )x-x+4的一个零点,若
0
3
x ∈(2,x ),x ∈(x ,+∞),则( )
1 0 2 0
A.x ∈(2,4)
0
B.f(x )>f(x )
1 2
C.f(x )<0,f(x )<0
1 2
D.f(x )>0,f(x )>0
1 2
11.(2024·江苏南通模拟)f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令
g(x)=f(x)-lg x,则函数g(x)的零点个数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
{
|log (x-2)|,2<x≤4,
2
12.(多选题)已知函数f(x)=
1
若方程f(x)=m有四个不同的实根
x2-6x+17,x>4,
2
x ,x ,x ,x ,满足x <x <x <x ,则下列说法正确的是( )
1 2 3 4 1 2 3 4
A.x x +4=2(x +x )
1 2 1 2
B.x +x =12
3 4
C.x x ∈(32,34)
3 4
D.函数g(x)=(f(x))2+(1-m)f(x)-m的零点为6,x ,x ,x ,x
1 2 3 4
13.(2024·湖南岳阳模拟)若函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一零点,则实数a=( )
1
A.2 B.
2
C.4 D.1
14.(13分)(2024·北京模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t),记函数
f(x)=ax2+(a-b)x-c.
(1)求证:函数y=f(x)必有两个不同的零点;
(2)若函数y=f(x)的两个零点分别为m,n,求|m-n|的取值范围.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx15.(13分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;
1
(2)若对x ,x ∈R,且x <x ,f(x )≠f(x ),关于x的方程f(x)= [f(x )+f(x )]有两个不等实根,证明
1 2 1 2 1 2 1 2
2
必有一个实根属于(x ,x ).
1 2
创新应用练
16.已知函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,对∀x∈R,都有f(x-3)=f(x+1)恒成立,当
x2
x∈[0,2]时,f(x)= ,若函数f(x)的图象和直线y=k(x+4),k>0有5个交点,则实数k的取值
2
范围是( )
1 2 1 1
A.( , ) B.( , )
3 3 5 2
1 1 1 1
C.( , ) D.( , )
5 3 3 2
答案：
1.B 解析 令f(x)=ln x+2x-4,显然f(x)=ln x+2x-4在(0,+∞)内单调递增.
又因为f(1)=2-4=-2<0,f(2)=ln 2+4-4=ln 2>0,f(x)的图象在区间[1,2]上是连续不断的,由函数零点
存在定理可知f(x)=ln x+2x-4的零点所在的区间为(1,2),所以ln x=4-2x的根所在的区间为(1,2).故
选B.
1
2.C 解析 作图(图略)易知函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)= +5的图象在y轴两侧各有一个交
x
点.
1
设h(x)=f(x)-g(x)=2ex- -5,
x
则h(-1)= 2 -4<0,h(- 1 )=2 - 1+5>0,h(1)=2e-6<0,h(2)=2e2- 11 >0,
e 10 e 10 2
1 1
故h(-1)h(- )<0,h(1)h(2)<0,h(x)的图象分别在区间[-1,- ]与[1,2]上是连续不断的,所以函数
10 10
1
h(x)的零点所在区间是(-1,- ),(1,2).
10
故k=-1或k=1.
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y=|ln x|与y=e-x的图象的交点个数为2,故f(x)的零点个数为2,故选C.
4.C 解析 当x≤-2时,f(x)=x2-5,令f(x)=1,解得x=-√6;
当x>-2时,f(x)=xlg(x+2),其中f(1)=lg 3<1,f(2)=2lg 4=lg 16>1,
所以当f(x)=1时,可得x∈(1,2).
综上,k的最大值是1,故选C.
1 1
5.D 解析 令g(x)=0,可得f(x)=x+a,当x≤0时,f(x)=( )x,当x>0时,f(x)=ln =-ln x与y=ln x的图
2 x
象关于x轴对称,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的图象(如图所示),由图可知,当a≥1时,函数
y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,此时函数y=g(x)有2个零点,因此实数a的最小值为1,故
选D.
{1-2x,x<0,
6.BCD 解析 f(x)=|1-2x|= 且当x<0时,0<2x<1,此时f(x)=1-2x∈(0,1),函数y=f(x)-m
2x-1,x≥0,
的零点即函数y=f(x)与直线y=m的图象交点的横坐标(如图所示),由图象可知,当0<m<1时,函数
y=f(x)与y=m的图象有两个交点,故A错误,B正确;由图可知,a<0<b,由f(a)=f(b),可得1-2a=2b-1,
化简可得2a+2b=2,故C正确;由2a+2b=2≥2√2a·2b=2√2a+b,因为a<b,所以取不到等号,可得
2a+b<1=20,所以a+b<0,因此D正确.故选BCD.
7.(0,+∞) 解析 当x≥0时,f(x)=ln(x+1),当x<0时,f(x)=ln(-x+1),函数图象示意图为
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx由g(x)=-x2+a与f(x)=ln(|x|+1)的图象有两个交点知a的取值范围是(0,+∞).
π π
8.2 解析 函数f(x)=2sin xsin(x+ )-x2的零点个数等价于方程2sin xsin(x+ )-x2=0的根的个数,
2 2
π
即函数g(x)=2sin xsin(x+ )=2sin xcos x=sin 2x与h(x)=x2的图象交点的个数.在同一坐标系中分
2
别作出两函数图象(如图所示),由图可知,函数g(x)与h(x)的图象有2个交点,所以f(x)有2个零点.
10 1 1 1
9.[2, ) 解析 由题意知方程ax=x2+1在区间( ,3)内有解,即a=x+ 在区间( ,3)内有解,设
3 2 x 2
1 1 10 10
t=x+ ,x∈( ,3),则t的取值范围是[2, ),故实数a的取值范围是[2, ).
x 2 3 3
1 1
10.B 解析 函数y=( )x在区间(2,+∞)上单调递减,y=-x+4在区间(2,+∞)上单调递减,故f(x)=(
3 3
)x-x+4在区间(2,+∞)上单调递减,又f(2)>0,f(3)>0,f(4)>0,f(5)<0,所以x ∈(4,5),因为
0
f(x )=0,x ∈(2,x ),x ∈(x ,+∞),由单调性知f(x )>0,f(x )<0,即f(x )>f(x ),故选B.
0 1 0 2 0 1 2 1 2
11.B 解析 由f(1+x)=f(1-x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,又由f(1+x)=f(1-x)可得f(2+x)=f(-
x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),因此f(x)的周期为4.作出f(x)的图象(如图所示),g(x)=f(x)-lg x的
零点个数即为f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数,因为lg 9<1,lg 10=1,由图象可得f(x)的图象与
y=lg x图象的交点个数为5,故选B.
12.BCD 解析 画出f(x)的大致图象如图.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx若f(x)=m有四个不同的实数根,则f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点.
由图象可知2<x <3<x <4<x <6<x <8,0<m<1.
1 2 3 4
1
对于A,因为f(x )=f(x ),即|log (x -2)|=|log (x -2)|,所以-log (x -2)=log (x -2),所以log
1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
x -2
1
=log (x -2),所以(x -2)(x -2)=1,整理得x x +4=1+2(x +x ),故A错误.
2 2 1 2 1 2 1 2
对于B,因为f(x )=f(x ),所以x +x =12,故B正确.
3 4 3 4
1
对于C,因为x 与x 是方程f(x)-m= x2-6x+17-m=0的两根,所以x x =2(17-m)=34-2m,又0<m<1,
3 4 3 4
2
所以x x ∈(32,34),故C正确.
3 4
对于D,g(x)=(f(x))2+(1-m)f(x)-m=(f(x)-m)(f(x)+1),由g(x)=0得f(x)=m或f(x)=-1.
因为f(x)=m的根为x ,x ,x ,x ,f(x)=-1的根为6,所以g(x)的零点为6,x ,x ,x ,x ,故D正确.故选BCD.
1 2 3 4 1 2 3 4
13.A 解析 由f(4-x)=(4-x)2-4(4-x)+a[e2(4-x)-4+e4-2(4-x)]=x2-4x+a(e4-2x+e2x-4)=f(x),可得函数f(x)的图
象关于直线x=2对称,要使函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一的零点,则f(2)=0,即4-8+2a=0,得
a=2,故选A.
b c
14.(1)证明 由题意,知a+b+c=0,且- >1,所以a<0且 >1,所以ac>0.
2a a
对于函数f(x)=ax2+(a-b)x-c,有Δ=(a-b)2+4ac>0,
所以函数y=f(x)必有两个不同的零点.
(b-a)2+4ac (-2a-c)2+4ac c c
(2)解 |m-n|2=(m+n)2-4mn= = =( )2+8· +4.
a2 a2 a a
由关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t)可知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个解分别为1
和t(t>1).
c
由根与系数的关系,知 =t,所以|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞),所以|m-n|> ,所以|m-n|的取值范围是
√13
a
(√13,+∞).
15.证明 (1)∵f(1)=a+b+c=0,又a>b>c,∴a>0,∴Δ=b2-4ac=(-a-c)2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2>0,∴f(x)
必有两个零点.
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(2)令g(x)=f(x)- [f(x )+f(x )],∴g(x )=f(x )- [f(x )+f(x )]= [f(x )-f(x )],g(x )=f(x )- [f(x )+f(x )]=
1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 2
1
[f(x )-f(x )],∴g(x )·g(x )=- [f(x )-f(x )]2,又f(x )≠f(x ),∴g(x )·g(x )<0,∴关于x的方程g(x)=0在
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
4
1
(x ,x )内必有一个实根,即关于x的方程f(x)= [f(x )+f(x )]必有一个实根属于(x ,x ).
1 2 1 2 1 2
2
16.C 解析 由题意知f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,又f(x-3)=f(x+1),则f(x)=f(x+4),即
f(x)是周期为4的函数.
1 x2 x2
若x∈[-2,0],则-x∈[0,2],故f(x)=f(-x)= (-x)2= ,所以当x∈[-2,2]时,f(x)= ,又y=k(x+4),k>0过定
2 2 2
点(-4,0),所以y=f(x)与y=k(x+4),k>0的部分图象如图所示.
1
当y=k(x+4),k>0过A(2,2)时,k= ;
3
1
当y=k(x+4),k>0过B(6,2)时,k= ,
5
1 1
由图可知,当 <k< 时,y=f(x)的图象和直线y=k(x+4),k>0有5个交点.故选C
5 3
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