文档内容
课时规范练 4 基本不等式
基础巩固练
16
1.(2024·湖南衡阳模拟)函数y= +x(x>2)的最小值为( )
x-2
A.8 B.9
C.10 D.11
b
2.(2024·四川达州二模)已知实数a,b满足a+ =2,则4a+2b的最小值为( )
2
A.4 B.8
C.4√2 D.8√2
1 1
3.(2024·江苏南通二模)设x>0,y>0, +2y=2,则x+ 的最小值为( )
x y
3
A. B.2
√2
2
3
C. +√2 D.3
2
4.(2024·福建漳州三模)设a>0,b>0,且a+2b=1,则log a+log b的( )
2 2
A.最小值为-3 B.最小值为3
C.最大值为-3 D.最大值为3
x+ y
5.(2024·江苏扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则 的最小值为( )
xy
A.4 B.4√2
C.6 D.2√2+3
6.(2024·广东韶关模拟)已知四棱台ABCD-A B C D 的上、下底面为矩形,AB=2A B ,高为
1 1 1 1 1 1
3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A B C D 的周长的最小值是( )
1 1 1 1
A.15 B.14
C.13 D.12
7.(多选题)(2024·山西大同模拟)下列结论正确的是( )
1
A.当x>0时,√x+ ≥2
√x
1
B.当x>2时,x+ 的最小值是2
x
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C.当x>0,y>0时, + ≥2
y x
1
D.当x<2时,y=x-1+ 的最小值为3
x-2
1 4
8.(多选题)(2024·湖北黄冈模拟)已知a>0,b>0且 + =2,则下列说法正确的是( )
a b
A.ab有最小值4
9
B.a+b有最小值
2
C.2ab+a有最小值2√5
D.√16a2+b2的最小值为4√2
2x2+x+3
9.函数f(x)= (x<0)的最大值为 .
x
3 1 λ
10.(2024·辽宁大连一模)对于任意的正数m,n,不等式 + ≥ 成立,则λ的最大值为
m n 2m+n
.
综合提升练
11.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值
是( )
A.5 B.9
C.13 D.18
12.已知正项等比数列{a }的前n项和为S ,且-a ,S ,S 成等差数列.若存在两项
n n 1 2 3
1 9
a m ,a n (m,n∈N*)使得 √a ·a =8a 1 ,则 + 的最小值是( )
m n m n
A.16 B.2
10 8
C. D.
3 3
xy
13.(2024·江苏徐州模拟)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时,
z
2 1 2
+ − 的最大值为( )
x y z
A.9 B.1
9
C. D.3
4
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14.(多选题)(2024·浙江金华检测)已知a>0,b>0,a+b=2ab- ,则( )
2
A.a> 3 B.a+b≥3
4
9 1 1 4
C.ab≥ D. + ≥
4 a b 3
2 4 18
15.(2024·广东珠海模拟)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为 ,此
a b 2a+b
时a= .
16.(13分)(2025·上海嘉定阶段检测)某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再
利用,以降低自来水的使用量.经测算,企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.
这种净水设备的购置费(单位:万元)与设备的占地面积x(单位:平方米)成正比,比例系数
为0.2,预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位:万元)与设备占地面积x之间的函数
20
关系为C= (x>0),将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为
x+5
y(单位:万元).
(1)要使y不超过7.2万元,求设备占地面积x的取值范围;
(2)设备占地面积x为多少时,y的值最小,并求出此最小值.
创新应用练
1 1 m
17.(2025·甘肃张掖模拟)已知a>b>c,若 + = 成立,则实数m的最小值为(
a-b b-c a-c
)
A.2 B.3
C.4 D.5
1 1
18.(2024·山东日照模拟)设x>-1,y>0且x+2y=1,则 + 的最小值为 .
x+1 y
x
19.(13分)(2025·北京名校高三一轮)(1)已知x>0,求函数f(x)= 的最大值.
x2+x+4
5 16x2-28x+11
(2)已知x< ,求函数y= 的最大值.
4 4x-5
答案：
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1.C 解析 由x>2,得x-2>0,则y= 16 +(x-2)+2≥2 √ 16 ·(x-2)+2=10,当且仅当 16 =x-2,
x-2 x-2 x-2
即x=6时,等号成立.
b
2.B 解析 因为a+ =2,所以2a+b=4,所以4a+2b=22a+2b≥2√22a·2b=2√22a+b=2√24=8,当且仅
2
当22a=2b,即a=1,b=2时,等号成立.
1 1 1 1 1 1 1
3.C 解析 因为 +2y=2,所以 +y=1,因为x>0,y>0,所以x+ =(x+ )( +y)= +xy+
x 2x y y 2x 2 2xy
3 1 3 √ 1 3 √2 3
+1= +xy+ ≥ +2 xy· = +2× = +√2.
2 2xy 2 2xy 2 2 2
1 1+√2
当且仅当xy= ,即x= ,y=2-√2 时,等号成立.
2xy 2
4.C 解析 因为a>0,b>0,且a+2b=1,
1 1 1
所以a+2b≥2
√2ab
,即ab≤ ,当且仅当a=2b,即a= ,b= 时,等号成立.
8 2 4
1
所以log a+log b=log ab≤log =-3,即log a+log b≤-3.
2 2 2 2 2 2
8
5.D 解析 因为x>0,y>0,且2x+y=1,
x+ y 1 1 1 1 2x y √2x y 2x y
所以 = + =( + )(2x+y)= + +3≥2 · +3=2√2+3,当且仅当 = ,即x=
xy y x y x y x y x y x
2-√2
,y=√2-1时,等号成立.
2
6.D 解析 设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积
1
为V= ×3×(ab+ √ab·4ab +4ab)=63,∴ab=9,∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4 √ab =12,当
3
且仅当a=b=3时,等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.
1 √ 1
7.AC 解析 由x>0,得√x+ ≥2 √x· =2,当且仅当x=1时,等号成立,故A正确.
√x √x
由基本不等式可得x+ 1 ≥2 √ x· 1 =2,当且仅当x=1时,等号成立,而x>2,故等号不成立,故x+ 1
x x x
的最小值不是2,故B错误.
x y √ x y
由基本不等式可得 + ≥2 · =2,当且仅当x=y时,等号成立,故C正确.
y x y x
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取x=-5,则x-1+ =-6- <3,故y=x-1+ 的最小值不为3,故D错误.故选AC.
x-2 7 x-2
1 4 √1 4 1 4
8.ABD 解析 由2= + ≥2 · ,得ab≥4,当且仅当 = ,即a=1,b=4时,等号成立,故A正
a b a b a b
1 1 4 1 b 4a 1 √b 4a 9 b 4a 3
确;因为a+b= ( + )(a+b)= (5+ + )≥ (5+2 · )= ,当且仅当 = ,即a=
2 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2
1 4 1 1 4 1
,b=3时,等号成立,故B正确;由 + =2,得2ab-4a-b=0,所以2ab+a=5a+b= ( + )(5a+b)=
a b 2 a b 2
(9+
b
+
20a
)≥
1
(9+2
√b
·
20a
)=
9+4√5
,当且仅当
b
=
20a
,即a=
5+2√5
,b=2+√5 时,等号成
a b 2 a b 2 a b 10
立,故C错误;由A的分析知ab≥4且a=1,b=4时,等号成立,所以
√16a2+b2≥√2×4ab=√8ab≥√32=4√2,当且仅当4a=b,即a=1,b=4时,等号成立,故D正确.故
选ABD.
9.1-2√6 解析 因为x<0,则-x>0,所以f(x)= 2x2+x+3 =2x+ 3 +1=-(-2x+ 3 )+1≤-2 √ -2x· 3
x x -x -x
3 √6
+1=1-2√6,当且仅当-2x= ,即x=- 时,等号成立,所以f(x)的最大值为1-2√6.
-x 2
3 1 λ 3 1
10.7+2 √6 解析 因为m,n都为正数,则不等式 + ≥ 可化为λ≤(2m+n)( + ),又由
m n 2m+n m n
(2m+n)(
3
+
1
)=7+
3n
+
2m
≥7+2
√3n
·
2m
=7+2√6,当且仅当
3n
=
2m
,即 √3n=√2m时,等号
m n m n m n m n
成立,所以λ≤7+2√6,即λ的最大值为7+2√6.
2 1
11.D 解析 由题意,正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则ab=a+2b,所以 + =1,故
a b
4a+2b=(4a+2b)(
2
+
1
)=10+
4b
+
4a
≥10+2
√4b
·
4a
=18,当且仅当
4b
=
4a
,结合
2
+
1
=1,即
a b a b a b a b a b
a=b=3时,等号成立,即4a+2b的最小值是18,故选D.
12.B 解析 由题设知2S =S -a ,即2(a +a )=a +a =q(a +a ),又{a }为正项等比数列,所以
2 3 1 1 2 2 3 1 2 n
q=2,a >0.
n
由√a ·a =8a ,则a2qm+n-2=64a2,即2m+n-2=64,所以m+n=8.
m n 1 1 1
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx则 1 + 9 = 1 ×( 1 + 9 )(m+n)= 1 ×(10+ n + 9m )≥ 1 ×(10+2 √ n · 9m )=2,当且仅当n=3m=6时,
m n 8 m n 8 m n 8 m n
1 9
等号成立,满足m,n∈N*,所以 + 的最小值为2.
m n
13.B 解析 ∵x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,
xy xy 1 1
∴ = = ≤ xy
z x2-3xy+4 y2 x + 4 y -3 2 √ x · 4 y -3 =1,当且仅当x=2y时,等号成立 .∴ z 的最
y x y x
大值是1,此时x=2y.
2 1 2 1 1 1 1
∴z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2,∴ + − = + − =-( -1)2+1≤1,当且仅当y=1时,
x y z y y y2 y
等号成立,此时x=2,z=2,满足题意.
2 1 2
∴ + − 的最大值为1.
x y z
3 9 3 3
14.BCD 解析 对于A,取a= ,b= ,满足a+b=2ab- ,但不满足a> ,A错误;对于B,因为
4 2 2 4
3 3 (a+b)2
a+b=2ab- ,所以2ab=a+b+ ≤ ,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0,所以a+b≥3,当且仅当a=b=
2 2 2
3 3
时,等号成立,B正确;对于C,a+b=2ab- ≥2
√ab
,令
√ab
=t(t>0),所以4t2-4t-3≥0,即(2t+1)
2 2
3 3 9 3
(2t-3)≥0,所以t≥ ,即√ab≥ ,所以ab≥ ,当且仅当a=b= 时,等号成立,C正确;对于D,
2 2 4 2
3
2ab- =2- 3 ,令ab=m,由C选项可知,m 9 ,而函数y=2- 3 在区间[ 9 ,+∞)上
1 1 a+b 2 ≥
+ = = 2ab 4 2m 4
a b ab ab
3 4 9 3 1 1 4
单调递增,所以2- ≥ ,当且仅当m= ,即a=b= 时,等号成立,所以 + ≥ ,即D正确,故选
2m 3 4 2 a b 3
BCD.
1 2ab 4ab 2 4 18
15.12 或1 解析 因为ab=1,所以 + =4a+2b=2(2a+b),所以 + + =2(2a+b)
2 a b a b 2a+b
{ 1
+
18 ≥2√36=12,当且仅当2a+b=3时,等号成立,又ab=1,所以有{a=1,
或
a=
2
,
2a+b b=1,
b=2.
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故 + + 的最小值为12,a= 或a=1.
a b 2a+b 2
80 80
16.解 (1)由题意得y=0.2x+ (x>0),令y≤7.2即0.2x+ ≤7.2,整理得x2-31x+220≤0,即
x+5 x+5
(x-11)(x-20)≤0,解得11≤x≤20,所以设备占地面积x的取值范围为11≤x≤20.
(2)因为x>0,所以由基本不等式得y=0.2x+
80
=
x+5
+
80
-1≥2
√x+5
·
80
-1=2√16-1=7,
x+5 5 x+5 5 x+5
x+5 80
当且仅当 = ,即x=15时,等号成立,所以设备占地面积为15 m2时,y的值最小,最小值为7
5 x+5
万元.
17.C 解析 令x=a-b,y=b-c,则x+y=a-c,因为a>b>c,所以x>0,y>0.
因为 1 + 1 = m ,所以( 1 + 1 )(a-c)=m,则m=( 1 + 1 )(x+y)=2+ y + x ≥2+2 √ y · x
a-b b-c a-c a-b b-c x y x y x y
=4,当且仅当x=y,即2b=a+c时,等号成立,所以m的最小值为4.
3+2√2 2y x+1
18. 解析 因为x>-1,y>0,所以x+1>0, >0, >0,因为x+2y=1,所以x+1+2y=2,所
2 x+1 y
1 1 1 1 1 1 2y x+1 1 2y x+1
以 + = ( + )(x+1+2y)= (3+ + )≥ (3+2 √2 ),当且仅当 = ,即
x+1 y 2 x+1 y 2 x+1 y 2 x+1 y
x=2√2-3,y=2-√2时取得最小值.
1
19.解 (1)因为x>0,所以f(x)= x 可化为f(x)= ,由基本不等式可得,x+ 4 2√ 4
4 ≥ x·
x2+x+4 x+1+ x x
x
1 1
≤
=4,当且仅当x=2时,等号成立,所以f(x)= ,当且仅当x=2时,等号成立,所以当x=2时,
4 5
x+1+
x
x 1
函数f(x)= 取最大值,最大值为 .
x2+x+4 5
t+5 5
(2)设4x-5=t,则x= ,因为x< ,所以t<0,所以y=
4 4
t+5 t+5
16x2-28x+11 16×( 4 ) 2-28× 4 +11 t2+3t+1 =t+3+ 1 ,所以y=t+3+ 1 =-[(-t)+(- 1 )]
= = t t t
4x-5 t t
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t 4x-5
取最大值,最大值为1
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