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§2.7 函数与方程
考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在性定理，并能简单应
用.3.了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函
数y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也就是方程f(x)＝0
的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在
的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图
象
与x轴的交点 ( x ,0) ， ( x ,0) ( x ,0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
微思考
1．函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点．
提示 f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．能否用二分法求任意方程的近似解．
提示 不能．用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连
续不断，二是该零点左、右的函数值异号．题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点．( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )
答案 C
解析 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分
法求解．
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 B
解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有
零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．
4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
题组三 易错自纠
5．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为( )
A．－ B．0 C. D．0或－
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－.综上有a＝0或－.
6．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案 0，－
解析 由题意知2a＋b＝0，
则b＝－2a，
令g(x)＝bx2－ax＝0，
得x＝0或x＝＝－，
所以g(x)的零点为0，－.
题型一 函数零点所在区间的判定
1．(2020·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C.
2．若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以
f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
3．(2020·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案 D
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0⇒x>3，
f′(x)<0⇒00，f(1)＝>0，
∴f(x)在内无零点．
又f(e)＝－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
4．已知20，
a a
∴x∈(2,3)，即n＝2.
0
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
题型二 函数零点个数的判定
例1 (1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方法一 ∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
方法二 设y＝2x，y＝2－x3，
1 2
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)
＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )
A．9 B．10 C．11 D．18
答案 B
解析 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点．
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几
个不同的零点．
跟踪训练1 (1)(2021·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，
y＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
(2)函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
答案 6
解析 在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sin x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点．题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－
∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，
f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，00且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
a
A．mn＝1 B．mn>1
C．01，m1，且－log m＝m，log n＝n，以上两式两边相减可得log (mn)＝n－
a a a
m<0，所以02或<2a≤1.
解得a>1或0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．(2020·青岛模拟)已知x＝a是函数 的零点，若00
0 0
C．f(x)<0 D．f(x)的符号不确定
0 0
答案 C
解析 在(0，＋∞)上单调递增，且f(a)＝0，
又00时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．
令f(x)＝0，得a＝2x.
因为0<2x≤20＝1，
所以00)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当00)恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 f(x)为偶函数，且T＝2，
当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，
作出函数y＝f(x)的图象如图，
方程ax＋a－f(x)＝0(a>0)有三个解，
即y＝f(x)与y＝ax＋a有三个交点，
又y＝ax＋a＝a(x＋1)恒过定点(－1,0)，
如图，k ＝1，k ＝，
AB AC
故
