§2.7 函数与方程
考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在性定理，并能简单应
用.3.了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函
数y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也就是方程f(x)＝0
的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在
的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图
象
与x轴的交点 ( x ,0) ， ( x ,0) ( x ,0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
微思考
1．函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点．
提示 f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．能否用二分法求任意方程的近似解．
提示 不能．用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连
续不断，二是该零点左、右的函数值异号．题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点．( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )
答案 C
解析 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分
法求解．
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 B
解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有
零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．
4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
题组三 易错自纠
5．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为( )
A．－ B．0 C. D．0或－
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－.综上有a＝0或－.
6．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案 0，－
解析 由题意知2a＋b＝0，
则b＝－2a，
令g(x)＝bx2－ax＝0，
得x＝0或x＝＝－，
所以g(x)的零点为0，－.
题型一 函数零点所在区间的判定
1．(2020·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C.
2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区
间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－
c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以
f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
3．(2020·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案 D
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0⇒x>3，
f′(x)<0⇒0<x<3，
∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
又f ＝＋1>0，f(1)＝>0，
∴f(x)在内无零点．
又f(e)＝－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
4．已知2<a<3<b<4，方程log x＝－x＋b的解x∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
a 0
答案 2
解析 方程log x＝－x＋b的解，
a
即为函数f(x)＝log x＋x－b的零点，
a
∴x 为f(x)＝log x＋x－b的零点，
0 a
∵2<a<3<b<4，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(2)＝log 2＋2－b<0，f(3)＝log 3＋3－b>0，
a a
∴x∈(2,3)，即n＝2.
0
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
题型二 函数零点个数的判定
例1 (1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方法一 ∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
方法二 设y＝2x，y＝2－x3，
1 2
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)
＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )
A．9 B．10 C．11 D．18
答案 B
解析 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点．
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几
个不同的零点．
跟踪训练1 (1)(2021·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，
y＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
(2)函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
答案 6
解析 在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sin x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点．题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－
∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，
f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.
命题点2 根据函数零点范围求参数
例3 函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 令f(x)＝0，
∴x·2x－kx－2＝0，
即k＝2x－，
即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1,2)的图象有交点，
又φ(x)＝2x－在(1,2)上单调递增，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0<k<3.
命题点3 数形结合法求解函数零点问题
例4 若函数f(x)＝|log x|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
a
A．mn＝1 B．mn>1
C．0<mn<1 D．以上都不对
答案 C
解析 由题设可得|log x|＝x，不妨设a>1，m<n，画出函数y＝|log x|，y＝x的图象如图所示，
a a结合图象可知0<m<1，n>1，且－log m＝m，log n＝n，以上两式两边相减可得log (mn)＝n－
a a a
m<0，所以0<mn<1，故选C.
素养提升 (1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)
求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值．
(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点
问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．
(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图
象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养．
跟踪训练2 (2021·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两
个不同的实根，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D．R
答案 C
解析 作出函数f(x)的图象如图，
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得2a>2或<2a≤1.
解得a>1或<a≤.
课时精练
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
答案 B解析 函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln 2－
2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．(2020·青岛模拟)已知x＝a是函数 的零点，若0<x<a，则f(x)的值满
0 0
足( )
A．f(x)＝0 B．f(x)>0
0 0
C．f(x)<0 D．f(x)的符号不确定
0 0
答案 C
解析 在(0，＋∞)上单调递增，且f(a)＝0，
又0<x<a，∴f(x)<f(a)＝0，即f(x)<0.
0 0 0
3．函数f(x)＝x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解．f(x)＝x·cos 2x＝0 x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在
[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．⇒
4．(2020·济宁模拟)若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(
)
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 由条件可知f(1)·f(2)<0，
即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，
解得0<a<3.
5．(多选)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值可能为( )
A．－1 B. C．1 D．2
答案 BC
解析 当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．
令f(x)＝0，得a＝2x.
因为0<2x≤20＝1，
所以0<a≤1，所以BC正确．
6．(多选)已知函数f(x)＝若x<x<x<x ，且f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)＝k，则下列结论正确的是
1 2 3 4 1 2 3 4
( )
A．x＋x＝－1 B．xx＝1
1 2 3 4C．1<x<2 D．0<k<1
4
答案 BCD
解析 由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示：
由图可知，x＋x＝－2，－2<x<－1；
1 2 1
当y＝1时，|log x|＝1，有 x＝，2，
2
所以<x<1<x<2；
3 4
由f(x)＝f(x)，得|log x|＝|log x|，
3 4 2 3 2 4
即log x＋log x＝0，
2 3 2 4
所以xx＝1，
3 4
由图可知0<k<1，故选BCD.
7．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
答案 －
解析 依题意，f(1)＝＋a＝0，∴a＝－.
8．(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
答案 －1和1
解析 令f(x)＝0得或
解得x＝1或x＝－1，
∴f(x)的零点为－1和1.
9．已知函数f(x)＝|1－x2|＋a，若f(x)有四个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1,0)
解析 函数y＝f(x)有四个零点，
即y＝－a与y＝|1－x2|有四个交点，
作出函数y＝|1－x2|的图象如图，
由图可知0<－a<1，即－1<a<0.
10．已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 [－3，－1)
解析 令f(x)＝0⇒x＝－2或1.
令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.
作出y＝f(x)的图象，如图所示．
y＝f(f(x)＋m)有四个零点，
∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，
∴
解得－3≤m<－1.
11．函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2,3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求m的取值范围．
解 (1)∵2,3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6.
∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
依题意解得－<m<0，
故实数m的取值范围是.
12．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
解 (1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)因为f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，
且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，即实数m的取
值范围为(0,1)．13．(2020·长沙统考)已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，
则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 A
解析 作出f(x)的图象如图所示，
令g(x)＝0，
∴f(x)＝2或f(x)＝－a，
∵f(x)＝2有一解，
∴f(x)＝－a有两解．
由图知1<－a<2，
即－2<a<－1.
14．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，若方
程ax＋a－f(x)＝0(a>0)恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 f(x)为偶函数，且T＝2，
当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，
作出函数y＝f(x)的图象如图，
方程ax＋a－f(x)＝0(a>0)有三个解，
即y＝f(x)与y＝ax＋a有三个交点，
又y＝ax＋a＝a(x＋1)恒过定点(－1,0)，
如图，k ＝1，k ＝，
AB AC
故<a<1.
15．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax＋1互为“零
点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A. B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 B
解析 ∵f(x)＝ex－1＋x－2，∴f(x)在R上单调递增，
又f(1)＝e0＋1－2＝0，
∴f(x)有唯一零点为1，
令g(x)的零点为x，
0
依题意知|x－1|<1，即0<x<2，
0 0
即函数g(x)在(0,2)上有零点，
令g(x)＝0，则x2－ax＋1＝0在(0,2)上有解，
即a＝x＋在(0,2)上有解，
∵x＋≥2，当且仅当x＝，
即x＝1时取等号，∴a≥2.
16．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝求函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和．
解 由题意知，当x<0时，
f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示，
设函数y＝f(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x ，x ，x ，x ，x ，由图象的对称
1 2 3 4 5
性可知，x＋x＝－6，x＋x＝6，x＋x＋x＋x＝0，
1 2 4 5 1 2 4 5
令＋2＝，解得x＝，
3
所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为.
