文档内容
第 2 讲 两直线的位置关系
一、选择题
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k ＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k ＝－，
1 2
则k ≠k ，且k k ≠－1.故选C.
1 2 1 2
答案 C
2.(2017·刑台模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0
平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条
件是解得a＝－1，因此选C.
答案 C
3.过两直线l ：x－3y＋4＝0和l ：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(
1 2
)
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
解析 法一 由得
则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.
法二 设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.
答案 D
4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y＋3＝0 D.x＋2y－3＝0
解析 设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线
x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
答案 D5.(2017·安庆模拟)若直线l ：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l ：2x＋6y－3＝0的距
1 2
离为，则m＝( )
A.7 B. C.14 D.17
解析 直线l ：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l ：2x＋
1 2
6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝，故选B.
答案 B
6.(2017·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos
的值为( )
A. B.－ C.2 D.－
解析 依题设，直线l的斜率k＝2，∴tan α＝2，且α∈[0，π)，则sin α＝，cos α
＝，则cos＝cos＝sin 2α＝2sin αcos α＝.
答案 A
7.(2017·成都调研)已知直线l 过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 过点(2，0)且
1 2
与直线l 垂直，则直线l 与直线l 的交点坐标为( )
1 1 2
A.(3，) B.(2，) C.(1，) D.
解析 直线l 的斜率为k ＝tan 30°＝，因为直线l 与直线l 垂直，所以k ＝－
1 1 2 1 2
＝－，所以直线l 的方程为y＝(x＋2)，直线l 的方程为y＝－(x－2).两式联立，
1 2
解得即直线l 与直线l 的交点坐标为(1，).故选C.
1 2
答案 C
8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线
所在的直线方程为( )
A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋6y－16＝0 D.6x＋y－8＝0
解析 由直线与向量a＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k＝，所以直线
的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对
称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.
答案 A
二、填空题
9.若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0 相交于同一点，则 m 的值为
________.
解析 由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案 －9
10.(2017·沈阳检测)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，
则直线l的方程为________.
解析 显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
11.(2017·深圳模拟)直线l 的斜率为2，l ∥l ，直线l 过点(－1，1)且与y轴交于
1 1 2 2
点P，则P点坐标为________.
解析 因为l ∥l ，且l 的斜率为2，则直线l 的斜率k＝2，又直线l 过点(－1，
1 2 1 2 2
1)，所以直线l 的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，所
2
以P点坐标为(0，3).
答案 (0，3)
12.(2017·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，
反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线
所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
答案 6x－y－6＝0
13.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定
点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为( )
A. B. C.5 D.10
解析 由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，
∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位
于以PQ为直径的圆上，
∵|PQ|＝＝，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.答案 D
14.若直线l ：y＝k(x－4)与直线l 关于点(2，1)对称，则直线l 经过定点( )
1 2 2
A.(0，4) B.(0，2)
C.(－2，4) D.(4，－2)
解析 直线l ：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直
1
线l ：y＝k(x－4)与直线l 关于点(2，1)对称，故直线l 经过定点(0，2).
1 2 2
答案 B
15.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3
＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
解析 易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，
即△APB为直角三角形，
∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立.
答案 5
16.在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最
小的点的坐标是________.
解析 设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取
等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交
于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求.∵k ＝＝2，
AC
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又∵k ＝＝－1，
BD
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②
由①②得解得所以M(2，4).
答案 (2，4)
