文档内容
第 7 讲 抛物线
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，
PF⊥x轴，则k＝( )
A. B.1 C. D.2
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，
由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1，2).
代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D.
答案 D
2.点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(
)
A.y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2
C.y＝－36x2 D.y＝x2或y＝－x2
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案 D
3.(2017·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x ，y )，Q(x ，
1 1 2
y )两点，如果x ＋x ＝6，则|PQ|＝( )
2 1 2
A.9 B.8 C.7 D.6
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|
＝|PF|＋|QF|＝x ＋1＋x ＋1＝x ＋x ＋2＝8.故选B.
1 2 1 2
答案 B
4.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C
的一个交点.若FP＝4FQ，则|QF|等于( )
A. B. C.3 D.2
解析 ∵FP＝4FQ，
∴|FP|＝4|FQ|，∴＝.
如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，
设l与x轴的交点为A，
则|AF|＝4，∴＝＝，
∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.
答案 C
5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x ，
1y )，B(x ，y )两点，则y＋y的最小值为( )
1 2 2
A.12 B.24 C.16 D.32
解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，
由得y ＝－4，y ＝4，∴y＋y＝32.
1 2
当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，
由得ky2－4y－16k＝0，∴y ＋y ＝，y y ＝－16，∴y＋y＝(y ＋y )2－2y y ＝＋32
1 2 1 2 1 2 1 2
＞32，
综上可知，y＋y≥32.
∴y＋y的最小值为32.故选D.
答案 D
二、填空题
6.(2016·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围
成的三角形的面积等于________.
解析 由图可知弦长|AB|＝2，三角形的高为3，
∴面积为S＝×2×3＝3.
答案 3
7.(2017·四川四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物
线于A，B两点，则弦长|AB|为________.
解析 设A(x ，y )，B(x ，y ).易得抛物线的焦点是F(1，0)，所以直线AB的方程是
1 1 2 2
y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x ＋x ＝6，所以|AB|＝x ＋x ＋p＝6
1 2 1 2
＋2＝8.
答案 8
8.(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2
＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析 y2＝2px的准线为x＝－.由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A，B，又
点A，B在双曲线y2－x2＝1上，从而－＝1，所以p＝2.
答案 2
三、解答题9.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x
－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围.
(1)解 ∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0).
即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)①证明 设点P(x ，y )，Q(x ，y ).
1 1 2 2
则则
∴k ＝＝，
PQ
又∵P，Q关于l对称.∴k ＝－1，即y ＋y ＝－2p，
PQ 1 2
∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，
∴＝＋2＝2－p.
∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p).
②解 ∵PQ的中点为(2－p，－p)，
∴
即∴
即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0.
即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，
故所求p的范围为.
10.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x ，y )，B(x ，y )是过F的直线与抛物
1 1 2 2
线的两个交点，求证：
(1)y y ＝－p2，x x ＝；
1 2 1 2
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y ，y 是方程(*)的两个实数根，
1 2
所以y y ＝－p2.
1 2因为y＝2px ，y＝2px ，所以yy＝4p2x x ，
1 2 1 2
所以x x ＝＝＝.
1 2
(2)＋＝＋
＝.
因为x x ＝，x ＋x ＝|AB|－p，代入上式，
1 2 1 2
得＋＝＝(定值).
(3)设AB的中点为M(x ，y )，分别过A，B作准线的垂线，垂足
0 0
为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝
(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
11.(2017·合肥模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为
A(x ，y )，B(x ，y )，则的值一定等于( )
1 1 2 2
A.－4 B.4 C.p2 D.－p2
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x ＝x ＝，则x x ＝；
1 2 1 2
②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x x ＝.又y＝2px ，y＝2px ，
1 2 1 2
∴yy＝4p2x x ＝p4，又∵y y ＜0，∴y y ＝－p2.
1 2 1 2 1 2
故＝－4.
答案 A
12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任
意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(
)
A. B. C. D.1
解析 如图，
由题可知F，设P点坐标为(y ＞0)，
0
则OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝，k ＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立.故选C.
OM
答案 C
13.(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4
＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则
m＋n的最小值为________.
解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，
连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|
AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n
的最小值为－1.
答案 －1
14.(2017·南昌模拟)已知抛物线C ：y2＝4x和C ：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为
1 2
F ，F ，点P(－1，－1)，且F F ⊥OP(O为坐标原点).
1 2 1 2
(1)求抛物线C 的方程；
2
(2)过点O的直线交C 的下半部分于点M，交C 的左半部分于点N，求△PMN
1 2
面积的最小值.
解 (1)由题意知F (1，0)，F ，
1 2
∴F1F2＝，
∵F F ⊥OP，∴F1F2·OP＝·(－1，－1)＝1－＝0，
1 2
∴p＝2，∴抛物线C 的方程为x2＝4y.
2
(2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，
联立得M，
联立得N(4k，4k2)，
从而|MN|＝＝，
又点P到直线MN的距离d＝，
进而S ＝···
△PMN
＝2·＝
＝2，
令t＝k＋(t≤－2)，则有S ＝2(t－2)(t＋1)，
△PMN
当t＝－2时，此时k＝－1，S 取得最小值.
△PMN
即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.
