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第 6 讲 空间向量及其运算
一、选择题
1.(2017·黄冈模拟)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实
数m的值等于( )
A. B.－2 C.0 D.或－2
解析 ∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.
答案 B
2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A B C D 中，M，N分别为棱AA 和BB 的中
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点，则sin〈CM，D1N〉的值为( )
A. B. C. D.
解析 如图，设正方体棱长为2，则易得CM＝(2，－2，1)，
D1N＝(2，2，－1)，∴cos〈CM，D1N〉＝＝－，∴sin〈CM，
D1N〉＝＝.
答案 B
3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么( )
A.AE·BC＜AE·CD
B.AE·BC＝AE·CD
C.AE·BC＞AE·CD
D.AE·BC与AE·CD的大小不能比较
解析 取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉＞
90°，因为AE·BC＝0，∴AE·CD＜0，所以AE·BC＞AE·CD.
答案 C
4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
( )
A.－1 B. C. D.
解析 由题意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)
＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.
答案 D
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，
AD的中点，则AE·AF的值为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
AE＝(a＋b)，AF＝c，
∴AE·AF＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案 C
二、填空题
6.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向
量的两直线的夹角为________.
解析 由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
答案 60°
7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________
解析 |EF|2＝(EC＋CD＋DF)2
＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2，
∴|EF|＝，∴EF的长为.
答案
8.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是
OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基底{OA，OB，OC}表
示向量OG，有OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________.
解析 ∵OG＝OM＋MG＝OA＋MN
＝OA＋(ON－OM)
＝OA＋
＝OA＋OB＋OC，
∴x＝，y＝，z＝.
答案 ，，
三、解答题
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.
(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解 (1)∵c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又∵|a|＝＝，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O A B C 中，E，F分别
1 1 1 1
是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O
为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A F⊥C E；
1 1
(3)若A ，E，F，C 四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E.
1 1
(1)解 E(a，x，0)，F(a－x，a，0).
(2)证明 ∵A (a，0，a)，C (0，a，a)，
1 1
∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)，
∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴A1F⊥C1E，∴A F⊥C E.
1 1
(3)证明 ∵A ，E，F，C 四点共面，
1 1
∴A1E，A1C1，A1F共面.
选A1E与A1C1为在平面A C E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ ，λ )，使
1 1 1 2
A1F＝λ A1C1＋λ A1E，
1 2
即(－x，a，－a)＝λ (－a，a，0)＋λ (0，x，－a)
1 2
＝(－aλ ，aλ ＋xλ ，－aλ )，
1 1 2 2
∴
解得λ ＝，λ ＝1.于是A1F＝A1C1＋A1E.
1 2
11.在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝( )
A.－1 B.0 C.1 D.不确定解析 如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB
＋AD·BC
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
答案 B
12.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在
基底{a，b，c}下的坐标.
已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量
p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标
是( )
A.(4，0，3) B.(3，1，3)
C.(1，2，3) D.(2，1，3)
解析 设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①
因为p在{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
∴p＝4a＋2b＋3c，②
由①②得∴
即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3).
答案 B
13.(2017·郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1，2，3)，OB
＝(2，1，2)，OP＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，
OQ的坐标是__________.
解析 ∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，
则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.即
当λ＝时，QA·QB取得最小值－.此时OQ＝.
答案
14.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于
1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)EF·BA；(2)EG的长；
(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
解 设AB＝a，AC＝b，AD＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)EF＝BD＝c－a，BA＝－a，DC＝b－c，
EF·BA＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
|EG|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，
则|EG|＝.
(3)AG＝b＋c，CE＝CA＋AE＝－b＋a，
cos〈AG，CE〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
