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第 6 讲 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C
＝( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析 法一 ∵S ＝·AB·AC·sin A＝，
△ABC
即××1×sin A＝，∴sin A＝1，
由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.
法二 由正弦定理，得＝，即＝，
sin C＝，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝120°时，A＝30°，
S ＝≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，
△ABC
S ＝，符合条件，故C＝60°.故选C.
△ABC
答案 C
2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B等于(
)
A. B.
C.或 D.
解析 ∵A＝，a＝2，b＝，
∴由正弦定理＝可得，
sin B＝sin A＝×＝.
∵A＝，∴B＝.
答案 D
3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
解析 因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案 B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos
2B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为在△ABC 中，a＞b sin A＞sin B sin2A＞sin2B 2sin2A＞
2sin2B 1－2sin2A＜1－2sin2B cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜
⇔ ⇔ ⇔
cos 2B”的充分必要条件.
⇔ ⇔
答案 C
5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝
2b2(1－sin A)，则A＝( )
A. B. C. D.
解析 在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝
sin A，
即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.
答案 C
二、填空题
6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝
－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析 由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2
＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.
答案 4
7.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，
B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S ＝________.
△ABC
解析 因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得
sin A＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S
△ABC
＝ab＝.
答案
8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.
解析 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
将A＝，a＝c代入，
可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，
整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，
得2＝＋，
可解得＝1.
答案 1
三、解答题
9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC
的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos的值.
解 (1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.
由S ＝bcsin A＝3，
△ABC
得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin
＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.
10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解 (1)由正弦定理得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以
sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos B＋sin B.
由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，
即∠B＝30°.
11.(2017·郑州调研)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值
范围是( )
A. B. C. D.
解析 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，
于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，∴cos A≥，在△ABC中，A∈(0，π).
由余弦函数的性质，得0
