文档内容
§8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长
公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与
圆锥曲线相交⇔Δ________0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ________0；直线与圆锥曲线相离
⇔Δ________0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝
＝|x－x|
1 2
＝________________________________________________________________________，
或|AB|＝|y－y|
1 2
＝________________________________________________________________________.
常用结论
1．已知M，N是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，
则k ·k ＝－.
MN OP
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则k ·k ＝.
MN OP
3．若曲线为抛物线，P(x ，y)为弦MN的中点：k ＝(开口向右)，k ＝－(开口向左)，k
0 0 MN MN MN
＝(开口向上)，k ＝－(开口向下)．
MN
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．( )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．( )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．( )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．( )
2．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A. B．－ C．± D．±3．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
4．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率
为( )
A. B. C. D.
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
(2)已知直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(00)有且仅有1个交点，则双曲线C的离
心率为( )
A．5 B. C. D.
跟踪训练1 (1)(2023·北京海淀模拟)已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均
有公共点，则点P的坐标可以为( )
A．(0,1) B．(1，－3)
C．(3,4) D．(2，－2)
(2)已知双曲线C：－y2＝1，过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
题型二 弦长问题
例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率
为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点
共线的充要条件是|MN|＝.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦
点F 的距离为1.
1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程．
1 △BMN
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型三 中点弦问题
例3 (2024·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，短
1 2
轴顶点分别为M，N，四边形MF NF 的面积为32.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ，y)，B(x ，y)，将这两点坐标
1 1 2 2
分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 AB的中点和直线AB的斜率
有关的式子，可以大大减少计算量．
跟踪训练3 (1)已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是( )
A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0
C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x
－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
