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§8.8 抛物线
课标要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、
对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的集合(或轨迹)叫作
抛物线．这个定点F叫作抛物线的________，这条定直线l叫作抛物线的________．
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的
一条直线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率 e＝________
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝x＋，也称为抛物线的焦半径．
0 0 0
3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－与x轴相交于点P，过焦点F的直线l与抛物
线相交于A(x，y)，B(x，y)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的
1 1 2 2
焦点弦长公式：|AB|＝|x－x|，|AB|＝|y－y|，|AB|＝x＋x＋p，|AB|＝.
1 2 1 2 1 2
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的
二次函数的解析式是一致的．( )
2．抛物线x2＝y的准线方程为( )
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作
圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝16y
C．y2＝8x D．y2＝16x
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的
一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得
简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(
0
)
A．4 B．3 C. D.
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d，到直线x＋y－4＝0
1
的距离为d，则d＋d 的最小值是( )
2 1 2
A. B. C．2 D.
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________________________．
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D，F为C的焦点，
若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为________________________．
跟踪训练2 (1)(2023·临汾统考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物
线C的方程为( )
A．x2＝6y B．x2＝12y
C．x2＝18y D．x2＝36y
(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，|PF|＝，若以线段 PF 为直径的圆过坐标轴上距离原点为 1 的点，则该抛物线 C 的方程为
________________________________________________________________________．
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛物
线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于( )
A. B. C. D.
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C
交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确
的是( )
A．p＝4 B.DF＝FA
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方
程为______________________．
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若
3FM＝2MN，则|NF|＝________.
