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§7.2 球的切、接问题
重点解读 与球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空
间想象能力、计算能力．其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特
殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决．
一、正方体与球
1．内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a.
2．棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长a.
3．外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R＝体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)．
三、正棱锥与球
1．内切球：V ＝S ·r＝S ·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高．
正棱锥 表 底
2．外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为 E，半径为r，R2＝(h－R)2
＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)．
四、正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝a，R
＝a，r＝a，R∶r＝3∶1.五、正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心．R2＝
2＋2.
六、圆柱的外接球
R＝(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径)．
七、圆锥的外接球
R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．
题型一 外接球
命题点1 定义法
例1 (1)(2023·茂名模拟)已知菱形ABCD的各边长为2，∠B＝60°.将△ABC沿AC折起，折
起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P－ACD，如图所示，当三棱锥P－ACD的表面积
最大时，三棱锥P－ACD的外接球体积为( )
A. B.C．2π D.
(2)(2023·韶关模拟)已知三棱柱ABC－ABC 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球
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面上，若AA＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________________．
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思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
跟踪训练1 某建筑的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个实心模型，已知
模型内层底面直径为12 cm，外层底面直径为16 cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直
径为20 cm的球面上，则此模型的体积为________ cm3.
命题点2 补形法
例2 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图 1所示的礼品包装盒就是其中之一．
该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等
的等腰三角形．将长方体ABCD－ABC D 的上底面ABC D 绕着其中心旋转45°得到如图
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2所示的十面体ABCD－EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝，则十面体ABCD－EFGH外接球的
表面积是________________．
跟踪训练2 在四面体S－ABC中，SA⊥平面ABC，在△ABC中，内角B，A，C成等差数列，
SA＝AC＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为________________．
命题点3 截面法
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点
都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π C．144π D．192π
(2)在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将其沿对角线BD折成四面
体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面体A′BCD的顶点在同一球面上，则该球的
体积为( )
A. B．3π C. D．2π
跟踪训练3 (1)已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下底面
正方形的外接圆半径分别为 1和2，圆台的两底面在球心的同侧，则此正四棱台的体积为________________．
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高
之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( )
A．3π B．4π C．9π D．12π
题型二 内切球
例4 如图所示，直三棱柱ABC－ABC 是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
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AA ＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身
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手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为( )
A.，4 B.，3
C．6π，4 D.，3
跟踪训练4 (1)(2023·淮北模拟)半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面
及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是( )
A．1＋ B.＋
C.＋ D.＋
(2)(2024·海东模拟)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该四棱锥内切球的表面积
是( )
A. B. C. D.
