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§8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
题型一 探索性问题
例1 (2023·广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M满足直线
AM与直线BM的斜率之积为－，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点F(1,0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，
使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
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思维升华 存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不
存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1 (2023·阜阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，
交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4)．
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于点P，Q，与线段AB
交于点N，PM＝λPN，MQ＝λQN均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
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题型二 圆锥曲线的综合问题
例2 (2024·广州模拟)已知双曲线C：－＝1，直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点．
(1)若M，N两点均在双曲线C的右支上，求证：＋为定值；
(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说
明理由．
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跟踪训练2 如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最
小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t
＝－8时，△ABH面积S的最小值．
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