文档内容
一、单项选择题
1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为( )
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的
投影O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
3.如图，在斜三棱柱ABC－ABC 中，∠BAC＝90°，BC ⊥AC，则C 在底面ABC内的投影
1 1 1 1 1
H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
4．(2023·景德镇模拟)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题
错误的是( )
A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
5．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解
释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直
棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形
的四面体．在如图2所示由正方体ABCD－ABC D 得到的堑堵ABC－ABC 中，当点P在下列三个位
1 1 1 1 1 1 1
置：AA中点，AB中点，AC中点时，分别形成的四面体 P－ABC中，鳖臑的个数为(
1 1 1
)
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在正三棱锥A－BCD中，二面角A－BC－D的平面角为60°，则AC与平面BCD夹角的
正切值为( )
A. B. C. D．1
二、多项选择题
7．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，
PB的中点，则下列结论正确的是( )
A．CD⊥PD
B．AB⊥PC
C．平面PBD⊥平面PAC
D．E，F，C，D四点共面
8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，
以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2.则下列说法正确的有(
)
A．CD⊥平面EDP
B．四棱锥P－EBCD外接球的体积为4π
C．二面角P－CD－B的大小为
D．直线PC与平面EDP夹角的正切值为
三、填空题9．在正方体ABCD－ABC D 的六个面中，与AA 垂直的平面有________个．
1 1 1 1 1
10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字
塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面夹角的正切值约
为________．
11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的
一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条
件即可)
12．在长方体ABCD－ABC D 中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得
1 1 1 1
EC ⊥ED，则实数t的取值范围是 ________.
1
四、解答题
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD
沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：(1)CD⊥平面PBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
14.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD
＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.
(1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；
(2)求直线PB与直线CD夹角的大小；
(3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论．15．(多选)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，点P在线段BC上运动，则下列说法正确
1 1 1 1 1
的是( )
A．直线BD⊥平面AC D
1 1 1
B．三棱锥P－AC D的体积为定值
1 1
C．异面直线AP与AD夹角的取值范围是
1
D．直线C P与平面AC D夹角的正弦值的最大值为
1 1 1
16．已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△DAC的位置，点G为△DAC
1 1
的重心，点E在线段BC上，GE∥平面DAB，GE⊥DA.若CE＝λEB，则λ＝________，直
1 1
线GB与平面DAC夹角的正切值为________．
1
