文档内容
§7.5 垂直关系
课标要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与
平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个
平面内的__________
判定定理 ⇒l⊥α
垂直，那么该直线与
此平面垂直
垂直于同一个平面的
性质定理 ⇒a∥b
两条直线平行
2.直线和平面的夹角
(1)定义：平面的一条斜线与它在平面上的 所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的
夹角，一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是 ；一条直线与平面平行，或在平
面内，就说它们的夹角是0°.
(2)范围：_______.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的
两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角．
(3)二面角的范围： ．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一
个平面的
判定定理 ⇒α⊥β
_________，那么这
两个平面垂直
两个平面垂直，如果
一个平面内有一条直
线垂直于这两个平面
性质定理 ⇒AB⊥α
的 ，那么这
条直线与另一个平面
垂直
常用结论
1．三垂线定理
若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂
直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( )
2．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3．(2023·石嘴山模拟)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周
上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是( )A．PA⊥平面ABC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥平面PBC
D．三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形
4．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面α的夹角是________．
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2024·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，点B 在底面ABC内的射影恰好是点
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C.
(1)若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC ；
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(2)已知BC ＝2，BC＝2，求△BCC 的周长．
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思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 如图，已知正方体ABCD－ABC D.
1 1 1 1(1)求证：AC⊥BD；
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(2)M，N分别为BD 与C D上的点，且MN⊥BD，MN⊥C D，求证：MN∥AC.
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题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
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(1)证明：平面ACC A⊥平面BBC C；
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(2)设AB＝AB，AA＝2，求四棱锥A－BBC C的高．
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跟踪训练 2 (2023·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝
2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
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题型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，已知ABCD－ABC D 是底面为正方形的长方体，∠ADA ＝60°，AD ＝4，点P
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是AD 上的动点．
1
(1)试判断不论点P在AD 上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AADD，并证明你的结
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论；
(2)当P为AD 的中点时，求异面直线AA 与BP夹角的余弦值；
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(3)求PB 与平面AADD所成角的正切值的最大值．
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cos θ＝cos θ·cos θ 的应用
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已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平
面α内的投影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线
AB的夹角为θ，AB与AC的夹角是θ，AO与AC的夹角为θ，则cos θ＝cos θ·cos θ.
1 2 1 2
典例 如图，PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝
60°，则PA与平面α的夹角为________．跟踪训练3 (多选)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E－ABCD－F，且该八面体
的各棱长均相等，则( )
A．异面直线AE与BC的夹角为60°
B．BD⊥CE
C．平面ABF∥平面CDE
D．直线AE与平面BDE的夹角为60°
