文档内容
专题 04 解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................1
方法一：向量化(三角形中线向量化）..........................................1
方法二：角互补..............................................................................6
三、专项训练.......................................................................................9
一、必备秘籍
1、向量化(三角形中线问题）
如图在 中， 为 的中点， (此秘籍在解决三角形中线问题
时，高效便捷）
2、角互补
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
方法一：向量化(三角形中线向量化）
1．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ．
(2)若 ，且边 上的中线 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求 ，根据角的范围可得
（2）根据余弦定理可得 ，根据面积公式求解可得
【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得
．
整理，得 ，
即 ．
又 ，
所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ．
（2）由题意得， ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
学科网（北京）股份有限公司故
2．（23-24高一下·云南·阶段练习）在 中，角 的对边分别是 ，且
．
(1)求角 ；
(2)若 的中线 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可求解；
（2）将 两边平方，结合基本不等式和面积公式可解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
在 中，
所以 ，
整理得 ，
所以 ， 因为 ， ,
所以 ， ．
（2）因为 的中线 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 ．
3．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在 中，已知
学科网（北京）股份有限公司边上的两条中线AM，BN相交于点 .
(1)求AM的长度；
(2)求∠MPB的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据AM是中线，由 求解；
（2）易知 为向量 的夹角 ，然后利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】（1）解：因为AM是中线，
所以 ，
所以 ，
则 ；
（2）由图象知： 为向量 的夹角 ，
因为 ，
所以 ，
，则 ，
又 ，
，
所以 ，
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .
4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在 中，满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ，边BC上的中线 ，设点 为 的外接圆圆心．
①求 的周长和面积：
②求 的值．
【答案】(1) ；
(2)①周长为 ，面积为 ；②13.
【分析】（1）由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得.
（2）①由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得；②边 的中点
分别为 ，利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得.
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，得
，
而 ，则 ，
显然 ，因此 ， ，
则 ，得 ，解得 ，
所以 .
（2）①由边BC上的中线 ，得 ，两边平方得
，
则 ，即 ，
在 中，由余弦定理 ，得 ，解得 ，
因此 ，所以 的周长为 ，面积为 .
②令边 的中点分别为 ，由点 为 的外接圆圆心，得
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
所以 .
5．（2024·辽宁抚顺·三模）在 中，内角 的对边分别为
．
(1)求 ；
(2)若 为 的中线，且 ，求 的面积 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合 ，求得
，结合余弦的倍角公式，即可求解；
（2）由（1）得到 ，根据 ，求得 ，再由由余弦
定理得到 ，求得 ，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由 ，可得 ，
因为 ，可知 ，所以 ，
又因为 ，联立方程组得 ，
所以 ．
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
因为 为 的中线，且 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司两边平方得 ，
又由余弦定理得 ，即 ，
两式相减，可得 ，所以 ．
方法二：角互补
1．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，已知AM是 中BC边上的中线．求证：
．
【答案】证明过程见解析
【分析】根据 这一等式，利用余弦定理进行证明即可.
【详解】因为AM是 中BC边上的中线，
所以 ，
因为 ，所以
，
.
2．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）在 中， .
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ；
(2)求 边上的中线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算 ，根据面积公式得到 ，再利用余弦定理计算得到答案.
（2） 是 中点，连接 ，根据余弦定理结合 计算即可.
【详解】（1）因为 ， ，故 ，
所以 ，解得 ，
故 ，故 .
（2）如图所示， 是 中点，连接 ，
， ， ，
故 ，解得 ，即 边上的中线为 .
3．（2024·湖南益阳·一模）在① ；② ；③
，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的中线 长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，再利用余弦定理即可求得答案；若选
②，则根据正弦定理，边化角，再利用两角和的正弦公式化简，求得答案；若选③，则根
据正弦定理，边化角，再利用诱导公式结合倍角公式化简，求得答案；
（2）根据 可得 ，利用余弦定理得到
学科网（北京）股份有限公司，在三角形 中，由余弦定理求得 ，即可求得答案.
【详解】（1）选择条件①：由 及正弦定理，得： ，
即 ，由余弦定理，得 ,
因为 ，所以 ；
选择条件②：由 及正弦定理，
得： ，
即 .
即 .
在 中， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ,
因为 ，所以 ；
选择条件③：由 及正弦定理，
得： ，
因为 , ，所以 .
在 中， ，则 ，
故 .
因为 ，所以 ，则 ，
故 ；
（2）因为 ，所以 ，
整理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 长度的最小值为 .
三、专项训练
1．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）如图，在 中，已知 ，
，AB，BC边上的中线CE，AF交于点D，则
【答案】
【分析】由题意知，以 和 作为基底来表示 和 ， 即为 和 的夹
角，再结合平面向量数量积运算及向量的夹角的求法求解即可.
【详解】因为 、 边上的两条中线CE，AF交于点D，
所以 ， ，
又 ， ， ，
则 ， ，
，
则 ，
.
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，已
知 ，若 为 边上的中线，且 ，
则 的面积等于 ．
【答案】 /
【分析】将条件式 ，利用正弦定理角化边，再根据余弦
定理求得 ，以 为邻边做平行四边形 ，在 中，利用余弦定理求得
，所以 ，得解；方法二，设 ，在 中由余弦定理得
，又 ，由余弦定理可得 ，解
得 ，后面同解法一.
【详解】由 ，得 ，
，
注意 ，得 ，得 ，
记 ，由 ，知 ，
如图，以 为邻边做平行四边形 ，
在 中： ，即 ，
得 ，所以 ，
故答案为： ．
法（2）：设 ，在 中： ①
因为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得 ，得 ②
联立①②知： ，即 ，解得 ，后面同上．
故答案为：
3．（22-23高一下·河北·阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ， ，则中线AD的长为 .
【答案】
【分析】在 和 中利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图，由余弦定理得 ，
，又 ，
两式相加得 ，即 ，化简得
，
所以 .
故答案为：
4．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，
且满足 ， ，则 ； 的中线
的最大值为 .
【答案】 /
【分析】空1：根据题意结合正、余弦定理运算求解；空2：根据基本不等式可得 ，
结合向量的运算求解.
【详解】空1：因为 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，所以 ；
空2：因为 ，可得 ，
由 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 为 的中线，则 ，
可得
，
所以 ，即中线 的最大值为 .
故答案为： ； .
5．（22-23高一下·山东淄博·期中）已知在 中，AD为BC边上的中线，且 ，
，则 的最小值为 ．
【答案】 /0.6
【分析】在 和 中，分别用余弦定理建立关系，并求得 ，再在
中利用余弦定理结合基本不等式求解作答.
【详解】依题意， ， ，如图，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
而 ，即 ，
两式相加得 ，于是 ，当且仅当 时
取等号，
在 中， ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
6．（22-23高一下·河南焦作·期中）已知在 中， 为 边上的中线，且
=4，则 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】分别在 和 中，利用余弦定理得到 ，
，根据 ，两式相加得到 ，然后利用余
弦定理结合基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
在 中，由余弦定理得 ，
，
在 中，由余弦定理得 ，
，
因为 ，所以 ，
两式相加得 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故答案为：
7．（21-22高一·全国·课后作业）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝
2， ，则BC边
△
上的中线AD长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得cosA，设AD＝
x，由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式
可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围．
【详解】因为 ，
由正弦定理可知： ，
又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB，
则2cosAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
学科网（北京）股份有限公司所以cosA ，因为A∈(0,π)，所以 ，
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在 ADB， ADC中分别有：cos∠ADB ，cos∠ADC ，
△ △
又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在 ABC中， ，即 ，
△
因为b2+c2≥2bc，所以 ，从而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得 ，（当且仅当b＝c时等号成立），
所以BC边上的中线AD长度的最大值为 ，
故答案为： ．
8．（22-23高一下·辽宁大连·期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出
结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向
量的线性表示出 ，最后利用求模公式即可求 边上的中线 的长.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理及 得：
，
又 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由 ，
所以 ，
由（1） ，
所以 ，
因为 为 边上的中线，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 边上的中线 的长为 .
9．（22-23高一下·湖北武汉·期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为
学科网（北京）股份有限公司a，b，c，已知 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边得 ，再利用余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理结合数量积运算得 ，由正弦定理可得 ，
，所以 ，结合角的范围，利用三角函数
性质可求得 的范围，即可得出答案.
【详解】（1）已知 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理可得 ，
又 ，
则
，
由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
由题意得 ，解得 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
所以 ，所以中线CD长的取值范围为 ．
10．（22-23高一下·湖南长沙·期中）在锐角 中，角 的对边分别是 ， ， ，
若
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求中线 长的范围（点 是边 中点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到 ，从而求出结
果；
（2）先利用向量的中线公式得到 ，再利用正、余弦定理及条件求出 的
范围，进而求出结果.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得：
即 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）由（1）得 ，且 ，由余弦定理知， ，得到
，
因为点D是边BC中点，所以 ，两边平方可得:
，
所以 ，
因为 ，又 ， ，
所以 ,
学科网（北京）股份有限公司又因为 为锐角三角形， 所以 ， ，得到 ，
所以 ，由 的图像与性质知， ，
所以 ，所以 ，得到
故 .
学科网（北京）股份有限公司
