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§7.4 空间直线、平面的平行
课标要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面
判定
内的一条直线平行，那么该直 ⇒a∥α
定理
线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，如
性质
果过该直线的平面与此平面相 ⇒a∥b
定理
交，那么该直线与交线平行
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交
判定
直线与另一个平面平行，那 ⇒β∥α
定理
么这两个平面平行
两个平面平行，如果另一个
性质
平面与这两个平面相交，那 ⇒a∥b
定理
么两条交线平行
常用结论
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．( × )
2．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
答案 BCD
解析 对于A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交， 故A错误；
对于B，平行于同一平面的两个平面平行，故B正确；
对于C，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行、相交，也可以异面，故C正确；
对于D，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面，
故D正确．
3．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是( )
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若α∥β，m⊂α，则m∥β
D．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
答案 C
解析 若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；
若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；
若α∥β，则α与β没有公共点，
又因为m⊂α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；
若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故D不正确．
4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状
为______．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝
4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD.
证明 方法一 如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二 如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴＝＝，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法三 如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在
DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，
连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面
确定交线．
跟踪训练1 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC
的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
证明 (1)取PB的中点G，连接FG，EG，
因为点F为PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，
所以DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－ABC D 的底面ABCD是正方形．
1 1 1 1(1)证明：平面ABD∥平面CDB.
1 1 1
(2)若平面ABCD∩平面CDB＝l，证明：BD∥l.
1 1 1 1
证明 (1)由题设知BB∥DD 且BB＝DD ，
1 1 1 1
所以四边形BBDD是平行四边形，
1 1
所以BD∥BD.
1 1
又BD⊄平面CDB，BD⊂平面CDB，
1 1 1 1 1 1
所以BD∥平面CDB.
1 1
因为AD∥BC ∥BC且AD＝BC ＝BC，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以四边形ABCD 是平行四边形，
1 1
所以AB∥DC.
1 1
又AB⊄平面CDB，DC⊂平面CDB,
1 1 1 1 1 1
所以AB∥平面CDB.
1 1 1
又因为BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD，
1 1 1
所以平面ABD∥平面CDB.
1 1 1
(2)由(1)知平面ABD∥平面CDB，
1 1 1
又平面ABCD∩平面CDB＝l，
1 1
平面ABCD∩平面ABD＝BD，
1
所以l∥BD，
又BD∥BD，所以BD∥l.
1 1 1 1
思维升华 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理．
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，
β∥γ⇒α∥γ)．
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面
的交线．
跟踪训练 2 如图所示，在三棱柱 ABC－ABC 中，过 BC 的平面与上底面 ABC 交于
1 1 1 1 1 1
GH(GH与BC 不重合)．
1 1(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，AB 的中点，求证：平面EFA∥平面BCHG.
1 1 1
证明 (1)∵在三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
∴平面ABC∥平面ABC ，
1 1 1
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面ABC ＝HG，
1 1 1
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为AB，AB的中点，AB 綉AB，
1 1 1 1
∴AG綉EB，
1
∴四边形AEBG是平行四边形，
1
∴AE∥GB.
1
∵AE⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
1
∴AE∥平面BCHG.
1
又∵AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面EFA，
1 1 1
∴平面EFA∥平面BCHG.
1
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧
面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
解 如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，
因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，
所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.
又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
所以点F即为所求的点．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.
所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
设PA＝x，则PC＝，
由PB·BC＝PC·BE，
得·a＝·a，
所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝a.
又CE＝＝a，
所以＝，所以＝＝，
即GE＝CD＝a，所以AF＝a.
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．
思维升华 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面
面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的
具体条件而定，绝不可过于“模式化”．
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要
思想方法．
跟踪训练3 (2023·马鞍山模拟)如图，在棱长为a的正方体ABCD－ABC D 中，P，Q分别
1 1 1 1
是棱DD ，AB的中点．
1
(1)若平面PQC与直线AA 交于点R，求的值；
1(2)若M为棱CC 上一点且CM＝λCC ，BM∥平面PQC，求λ的值．
1 1
解 (1)如图所示，
因为平面 ABBA∥平面 CDD C ，且平面 ABBA∩平面 PQC＝RQ，平面 CDD C ∩平面
1 1 1 1 1 1 1 1
PQC＝PC，
所以RQ∥PC，根据空间等角定理可知，△ARQ∽△DPC，则＝，
又DC＝a，DP＝a，AQ＝a，则＝，
即AR＝a，AR＝a，所以＝.
1
(2)取AA 的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ，
1
又RQ⊂平面PCQ, BE⊄平面PCQ，
则BE∥平面PCQ.
又BM∥平面PCQ，BM，BE⊂平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，
设DD ∩平面BME＝F，连接EF，FM，
1
由平面BME∥平面PCQ，平面BME∩平面CDD C ＝FM，平面PCQ∩平面CDD C ＝PC，
1 1 1 1
所以FM∥PC，
又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形，
同理四边形PREF也是平行四边形，
所以CM＝PF＝ER＝a，所以λ＝＝＝.
课时精练
一、单项选择题
1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( )
A．平行于同一平面的两个平面一定平行
B．平行于同一直线的两条直线一定平行
C．垂直于同一直线的两条直线一定平行
D．垂直于同一平面的两条直线一定平行
答案 C
解析 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．
2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，
则( )
A．EF∥PA
B．EF∥PB
C．EF∥PC
D．以上均有可能
答案 B
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
3．过四棱锥P－ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有( )
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
答案 C
解析 如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点，
则NE∥PB，且NE⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，
所以NE∥平面PBD，
同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，
由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，
所以与平面PBD平行的直线有6条．
4.(2023·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F
为PC上一点，当PA∥平面EBF时，等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩
平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.5．(2024·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AM＝2MA ，BN＝2NB ，过MN作一
1 1 1 1 1
平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．AB∥NE
1 1
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
答案 D
解析 由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，
M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；
由于B ，N，E三点共面，B∈平面BNE，A∉平面BNE，NE不过点B ，故AB ，NE为
1 1 1 1 1 1 1 1
异面直线，故B错误；
∵在平行四边形AABB中，AM＝2MA ，
1 1 1
BN＝2NB ，∴AM∥BN，AM＝BN，
1
故四边形AMNB为平行四边形，
∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，
∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．
6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，点E，F分别是棱BC，CC 的中点，
1 1 1 1 1
P是侧面BCC B 内一点，若AP∥平面AEF，则线段AP长度的取值范围是( )
1 1 1 1
A. B.C. D．[，]
答案 B
解析 如图，取 BC 的中点 M，BB 的中点 N，连接 AM，AN，MN，可以证明平面
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AMN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为AM＝AN＝＝，
1 1 1
MN＝＝，
所以当点P位于M，N点时，AP最大，当点P位于MN的中点O时，AP最小，此时AO
1 1 1
＝＝，所以≤|AP|≤，所以线段AP长度的取值范围是.
1 1
二、多项选择题
7．(2023·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为
所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )
答案 AC
解析 对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，
DE⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点
H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
图1
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
图2
又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，
∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．
8.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－ABC D 内灌进一些水，固定容器底面一边
1 1 1 1
BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱AD 始终与水面所在的平面平行
1 1
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
答案 ACD
解析 由题图，显然A正确，B错误；
对于 C，因为 AD∥BC，BC∥FG，所以 AD∥FG 且 FG⊂平面 EFGH，AD⊄平面
1 1 1 1 1 1
EFGH，
所以AD∥平面EFGH(水面)，故C正确；
1 1
因为水是定量的(定体积V)，
所以S ·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，
△BEF
所以BE·BF＝(定值)，故D正确．
三、填空题
9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，
则AB＝________.答案
解析 ∵α∥β，∴CD∥AB，则＝，
∴AB＝＝＝.
10.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，
且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．
答案 矩形
解析 因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，
所以CD∥EF.
同理HG∥CD，所以EF∥HG.
同理HE∥GF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，
所以平行四边形EFGH为矩形．
11.如图，空间图形ABC －ABC是三棱台，在点A ，B ，C ，A，B，C中取3个点确定平
1 1 1 1 1 1
面α，α∩平面ABC ＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是________．
1 1 1
答案 A，B，C (答案不唯一)
1
解析 由空间图形ABC －ABC是三棱台，
1 1 1
可得平面ABC∥平面ABC ，
1 1 1
当平面ABC 为平面α，平面α∩平面ABC ＝m时，
1 1 1 1
又平面α∩平面ABC＝AB，
所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，
所取的这3个点可以是A，B，C .
1
12．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF
为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确
结论是________．
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.答案 ①③
解析 对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正确；
对于②，取DF的中点G，连接EG，CG，
∵E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC，
∴EG＝BC，EG∥BC，
∴四边形BCGE为梯形，
∴直线BE与直线CG相交，
∴BE与平面CDF相交，故②错误；
对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∴OE∥CD，
∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正确．
四、解答题
13．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，
BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积．
(1)证明 设AF＝tAC，
则BF＝BA＋AF＝(1－t)BA＋tBC，AO＝－BA＋BC，
因为BF⊥AO，所以BF·AO＝[(1－t)BA＋tBC]·
＝(t－1)BA2＋tBC2＝4(t－1)＋4t＝0，
解得t＝，则F为AC的中点，
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，
于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，
又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)解 如图，连接DE，OF，过P作PM垂直于OF，交FO的延长线于点M，
因为PB＝PC，O是BC中点，
所以PO⊥BC，
在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝，
所以PO＝＝＝2，
因为AB⊥BC，OF∥AB，
所以OF⊥BC，
又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，
所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，
所以PM⊥平面ABC，
即三棱锥P－ABC的高为PM，
因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，所以PM＝POsin 60°＝2×＝，
又S ＝AB·BC＝×2×2＝2，
△ABC
所以V ＝S ·PM＝×2×＝.
三棱锥P－ABC △ABC
14．(2023·宁波模拟)如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．
(1)求证：GH∥BF；
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位
置并证明；若不存在，说明理由．
(1)证明 连接BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点，
则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF.
(2)解 存在，P是线段CD的中点，理由如下：
由(1)可知，GH∥BF，
GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP，
∴BF∥平面GHP，连接PG，PH，
∵P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF，
HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，
∴CF∥平面GHP，
BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，
故平面GHP∥平面BCF.
15．(多选)如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点(不含端点)，将△ABE沿
AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线
段BD上的动点(不含端点)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有( )A．B，E，C，F四点不共面
B．存在点F，使得CF∥平面BAE
C．三棱锥B－ADC的体积为定值
D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直
答案 AB
解析 对于A，因为点B在平面AECD外，点D在平面AECD内，直线EC在平面AECD内，
直线EC不过点D，所以直线BD与EC是异面直线，即直线BF与EC是异面直线，所以
B，E，C，F四点不共面，故A正确；
对于B，如图，当点F为线段BD的中点，
EC＝AD时，直线CF∥平面BAE，证明如下：
取AB的中点G，连接GE，GF，
则EC∥FG且EC＝FG，
所以四边形ECFG为平行四边形，
所以FC∥EG，又因为EG⊂平面BAE，
则直线CF与平面BAE平行，故B正确；
对于C，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，
所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确；
对于D，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，
所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，
且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D
不正确．
16．已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC B 内
1 1 1 1 1 1
部及其边界上运动，
(1)若EP∥平面BDD B，则动点P的轨迹长度为______________；
1 1
(2)若AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为______________．
答案 (1)2 (2)
解析 如图，分别取BC，BC 的中点F，G，连接EF，FG，EG，
1 1则四边形BFGB 为平行四边形，所以BB∥FG，
1 1
因为E为CD的中点，所以EF∥BD，
因为EF，FG⊄平面BDD B ，BD，BB⊂平面BDD B ，所以EF∥平面BDD B ，FG∥平面
1 1 1 1 1 1 1
BDD B，
1 1
因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面BDD B，
1 1
(1)因为平面EFG∩平面BCC B ＝FG，且点P在四边形BCC B 内部及其边界上运动，EP∥
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平面BDD B，所以点P的轨迹是FG，
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因为FG＝BB＝2，所以动点P的轨迹长度为2.
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(2)因为AB⊥平面BCC B，BP⊂平面BCC B，
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所以AB⊥BP，
在Rt△ABP中，AB＝2，∠BAP＝30°，
则tan∠BAP＝＝，所以BP＝AB＝，
所以点P的轨迹是以B为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为，
所以动点P的轨迹长度为×＝.
