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§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2,0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：
线段MN的中点为定点．
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思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y ＝k(x－x)，则直线必过定
0 0
点(x，y)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
0 0
跟踪训练1 (2024·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等
腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过
点M?
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题型二 定值问题
例2 在平面直角坐标系 xOy中，已知△ABC的两个顶点坐标为 B(－2,0)，C(2,0)，直线
AB，AC的斜率乘积为.
(1)求顶点A的轨迹Γ的方程；
(2)过点P(1,0)的直线与曲线Γ交于M，N两点，直线BM，CN相交于点Q，求证：OP·OQ为
定值．
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跟踪训练2 (2023·海南联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾
斜角为的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，|
MD|＝4.
(1)求p的值；
(2)若斜率不为0的直线l 与抛物线C相切，切点为G，平行于l 的直线交抛物线C于P，Q
1 1
两点，且∠PGQ＝，证明：点F到直线PQ与到直线l 的距离之比为定值．
1
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