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§8.2 两条直线的位置关系
课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交
点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l ：y＝kx＋b ，l ：y＝kx＋b ，l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0(其中l 与l
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2 1 3
是同一条直线，l 与l 是同一条直线)的位置关系如下表：
2 4
位置关系 l，l 满足的条件 l，l 满足的条件
1 2 3 4
平行
垂直
相交
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
②结论：|PP|＝____________________.
1 2
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝____________.
(2)点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.
0 0
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝____________.
1 1 2 2
常用结论
六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，
x－k)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 和l 斜率都存在时，一定有k＝k⇒l∥l.( )
1 2 1 2 1 2
(2)若两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
1 2
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点
在直线l上．( )
2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1
3．两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为( )
A. B. C. D.
4．直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________________________.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2023·桂林模拟)已知直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0，l：2x＋ay－1＝0，若l⊥l，则实
1 2 1 2
数a的值是( )
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
(2)(2024·青岛模拟)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、
重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC 的顶点 A(－3,0)，
B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(
)
A．－2 B．－1
C．－1或3 D．3
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直
线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
(2)已知两直线l ：(m－1)x－6y－2＝0，l ：mx＋y＋1＝0，若l⊥l ，则m＝________；若
1 2 1 2
l∥l，则m＝________.
1 2
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)经过两直线l ：2x－y＋3＝0与l ：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝
1 2
0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
直线系方程
过直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程为Ax＋By＋C ＋
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1
λ(Ax＋By＋C )＝0，λ∈R，但不包括直线l.
2 2 2 2
典例 过两直线l：x－3y＋4＝0和l：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
1 2
A．3x－19y＝0 B．19x－3y＝0
C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0
(2)(2023·上饶统考)正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D
分别在直线2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为__________________．
跟踪训练2 (1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．3 B．4 C．2 D．6
(2)已知两条平行直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间
的距离的最大值为________，此时两平行直线方程分别为___________________________．
题型三 对称问题
命题点1 点(或直线)关于点对称
例3 直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
命题点2 点关于直线对称
例4 已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为( )
A. B．2 C. D．2
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 两直线方程为l：3x－2y－6＝0，l：x－y－2＝0，则l 关于l 对称的直线方程为( )
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A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
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(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
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