文档内容
§8.2 两条直线的位置关系
课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交
点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l ：y＝kx＋b ，l ：y＝kx＋b ，l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0(其中l 与l
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2 1 3
是同一直线，l 与l 是同一直线，l 的法向量v ＝ ( A ， B )，l 的法向量v ＝ ( A ， B )的位置关
2 4 3 1 1 1 4 2 2 2
系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l，l 满足的条件 l，l 满足的条件
1 2 3 4
平行 v∥v k ＝ k 且 b ≠ b AB － A B ＝ 0 且 A C － A C ≠ 0
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
垂直 v⊥v k · k ＝－ 1 AA ＋ B B ＝ 0
1 2 1 2 1 2 1 2
相交 v 与v 不共线 k ≠ k AB － A B ≠ 0
1 2 1 2 1 2 2 1
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
②结论：|PP|＝.
1 2
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
直线外一点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝.
1 1 2 2
常用结论
六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，
x－k)．
自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l 和l 斜率都存在时，一定有k＝k⇒l∥l.( × )
1 2 1 2 1 2
(2)若两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )
1 2
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点
在直线l上．( √ )
2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1
答案 A
解析 因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以＝≠，解得m＝4.
3．两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由直线2x－4y－3＝0可得，x－2y－＝0，根据两条平行线间的距离公式知d＝＝.
4．直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________．
答案 x－2y＋11＝0
解析 在直线上取点P(3,0)，点P关于M(－2,1)的对称点为P′(－7,2)，
过点P′与原直线平行的直线方程为x－2y＋11＝0，即为对称后的直线方程.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2023·桂林模拟)已知直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0，l：2x＋ay－1＝0，若l⊥l，则实
1 2 1 2
数a的值是( )
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
答案 A
解析 由题意可知l⊥l，故2a＋a(a－1)＝0，
1 2
解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．
(2)(2024·青岛模拟)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、
重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC 的顶点 A(－3,0)，
B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(
)
A．－2 B．－1
C．－1或3 D．3
答案 B解析 由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，△ABC的重心为，即(1,1)，
又三角形为直角三角形，
所以外心为斜边中点，即，
所以可得△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0，
因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，
所以＝≠，解得a＝－1.
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直
线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
答案 B
解析 由题意可知，直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的斜率分别为－，，
又在△ABC中，＝，
所以－·＝－1，
所以两条直线垂直．
(2)已知两直线l ：(m－1)x－6y－2＝0，l ：mx＋y＋1＝0，若l⊥l ，则m＝________；若
1 2 1 2
l∥l，则m＝________.
1 2
答案 3或－2
解析 因为l：(m－1)x－6y－2＝0，l：mx＋y＋1＝0，
1 2
所以，若l⊥l，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，
1 2
若l∥l，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意．
1 2
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)经过两直线l ：2x－y＋3＝0与l ：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝
1 2
0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
答案 D
解析 方法一 由解得所以直线l 与l 的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线
1 2
为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x
＋2y＋1＝0.
方法二 设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，
即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又该直线与3x＋2y＋7＝0平行，
故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，
解得λ＝，
故所求直线方程为x＋y＋3－＝0，即3x＋2y＋1＝0.
直线系方程
过直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程为Ax＋By＋C ＋
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1
λ(Ax＋By＋C )＝0，λ∈R，但不包括直线l.
2 2 2 2
典例 过两直线l：x－3y＋4＝0和l：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
1 2
A．3x－19y＝0 B．19x－3y＝0
C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案 D
解析 设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
代入原点坐标，得4＋5λ＝0，解得λ＝－，
故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
(2)(2023·上饶统考)正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D
分别在直线2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________．
答案 2或14
解析 设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，
联立得C，
联立得D，
∴由两点间的距离公式可得|CD|＝|m＋11|，
又直线AB与CD的距离为d＝，
∴|m＋11|＝，
解得m＝－8或m＝－32，
即|CD|＝2或14.
即正方形的边长为2或14.
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x，y)到直线x＝a的距离d＝|x－a|，到直线y＝b的距离d＝|y－b|.
0 0 0 0
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
跟踪训练2 (1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．3 B．4 C．2 D．6
答案 B
解析 由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝2＝4.
(2)已知两条平行直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间
的距离的最大值为________，此时两平行直线方程分别为____________________．
答案 3 3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
解析 两条平行直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，
当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
|AB|＝＝3，
这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3，
∵直线AB的斜率k ＝＝，
AB
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
题型三 对称问题
命题点1 点(或直线)关于点对称
例3 直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
答案 B
解析 方法一 设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为，
因为点在直线3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.
方法二 在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，
设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，
则O′，M′，
所以所求直线方程为＝，
即3x－2y－2＝0.
命题点2 点关于直线对称
例4 已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为( )
A. B．2 C. D．2
答案 D
解析 ＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1,1)，B(2,0)的距离之和，如图所示，设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x，y)，
0 0
则解得
所以对称点为A′(－2，－2)，
则|A′B|＝＝2，
由图知＋的最小值为2.
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 两直线方程为l：3x－2y－6＝0，l：x－y－2＝0，则l 关于l 对称的直线方程为( )
1 2 1 2
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
答案 C
解析 设所求直线上任意一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x，y)，
1 1
则
解得①
∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，
∴将①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l 关于l 对称的直线方程．
1 2
思维升华 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条
件列方程组解题．
跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得
解得所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
得M′.设直线m与直线l的交点为N，
由得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3)，
所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
所以l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二 因为l∥l′，
所以设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
因为点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得＝，解得C＝－9，
所以l′的方程为2x－3y－9＝0.
课时精练
一、单项选择题
1．已知直线l 经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l：2x＋y－3＝0平行，则a等于( )
1 2
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 C
解析 直线l 的斜率k＝＝，直线l 的斜率k＝－2，
1 1 2 2
所以＝－2，解得a＝－1，经检验，符合题意．
2．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于( )
A．－6 B．4 C．－10 D．－4
答案 D
解析 因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，解得a＝10，因为垂足
为(1，b)，
故解得
故a＋b＋c＝－4.
3．四边形ABCD的四个顶点是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，则四边形ABCD为( )
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形答案 D
解析 由k ＝＝，k ＝＝，
BC AD
k ＝＝－，k ＝＝－，
AB CD
∵k ＝k ，k ≠k ，
BC AD AB CD
∴BC∥AD，AB与CD不平行，
∴四边形ABCD为梯形，
又∵k ·k ＝－1，
AD AB
∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为 x－2y＋1＝0和x－2y＋
3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为 3x＋4y＋c ＝0和3x＋4y＋c ＝0，则|c －c|等于(
1 2 1 2
)
A．2 B．2 C．2 D．4
答案 B
解析 因为菱形四条边都相等，
所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝，
直线3x＋4y＋c＝0和3x＋4y＋c＝0之间的距离为＝，
1 2
于是有＝⇒|c－c|＝2.
1 2
5．(2024·牡丹江模拟)直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是( )
A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
答案 C
解析 直线y＝x与直线x＝1交于点A，
所以直线l的斜率为－且过点A，
所以直线l的方程为y－＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多
有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 B
解析 要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，
则＝，解得m＝4；
若mx＋y＝0,2x－3my－4＝0平行，
则＝，无解；若4x＋y－4＝0,2x－3my－4＝0平行，
则＝，解得m＝－；
若三条直线交于一点，可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．
二、多项选择题
7．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(
)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
答案 AC
解析 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4，
所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，
l的斜率为＝－，
此时直线l的方程是y－2＝－(x－1)，
即3x＋2y－7＝0.
8．已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，
下列判断中正确的是( )
A．斜边AB的中点坐标是(3,2)
B．|AB|＝2
C．△ABC的面积等于4
D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)
答案 ABD
解析 如图，取AB的中点为P(x，y)，
因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，
则k ＝＝－1，且x－y＝1，
CP
解得
则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确；
|CP|＝＝，|AB|＝2|CP|＝2，故B正确；所以S ＝|AB||CP|＝×2×＝2，故C错误；
△ABC
设点C关于直线AB的对称点为点C ，则CC 的中点为点P，即x ＝ ＝3，
1 1 P
所以 ＝4，所以 ＝－1，解得 ＝1，
即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确．
三、填空题
9．已知直线l ：2x＋y＋1＝0和直线l ：x＋ay＋3＝0，若l⊥l ，则实数a的值为________；
1 2 1 2
若l∥l，则l 与l 之间的距离为________．
1 2 1 2
答案 －2
解析 已知直线l：2x＋y＋1＝0和直线l：x＋ay＋3＝0，
1 2
若l⊥l，则2＋a＝0，解得a＝－2；
1 2
若l∥l，则2a＝1，解得a＝，此时直线l：2x＋y＋6＝0，显然两直线不重合，
1 2 2
故此时l 与l 间的距离d＝＝.
1 2
10．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标
为________．
答案
解析 k ＝＝－，
BC
∴直线BC方程为y－2＝－(x＋2)，即x＋5y－8＝0，
又AD⊥BC，∴k ＝5，
AD
∴直线AD方程为y＝5x－2，即5x－y－2＝0，
联立解得
故D.
11．(2023·菏泽模拟)点 A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 的距离的取值范围是
________．
答案 [0,2]
解析 直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，
由解得
所以直线过定点P(9，－4)，
当AP与直线垂直时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为
d＝＝2，
当点A在直线上时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最小值为0，
故点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是[0,2]．
12．(2023·临沂模拟)已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________．
答案 x－2y＋4＝0
解析 如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点
A′(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点D′(－4,4)，所以BC所在直线的方程为
y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0，
令x＝0，则y＝2，所以C点坐标为(0,2)，
所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
四、解答题
13．(1)已知点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值；
(2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
解 (1)由题意，得＝4，|3a－26|＝20，
解得a＝2或a＝.
(2)设点P(－3b，b)，
由题意，得|OP|＝＝.
点P到直线x＋3y－2＝0的距离为＝，
所以＝，解得b＝±.
即点P的坐标为或.
14．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平
分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点B的坐标；
(2)直线BC的方程．
解 (1)设点B(x，y)，由AB中点在2x－y－5＝0上，
0 0
可得2×－－5＝0，
即2x－y－1＝0，
0 0
又x－2y－5＝0，
0 0
联立
解得即点B(－1，－3)．
(2)设点A关于x－2y－5＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则有
解得即A′，
∴BC边所在的直线方程为y＋3＝(x＋1)，即6x－17y－45＝0.
15.(2023·南通统考)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光
线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经
过的路径总长|PQ|＋|QR|＋|RP|＝______.
答案
解析 以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，因为△ABC
为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则l ：x＋y－2＝0，点P(1,0)，所以点P
BC
关于y轴的对称点为P(－1,0)，设点P关于直线l ：x＋y－2＝0的对称点为P(x ，y)，则
1 BC 2 0 0
＝1且＋－2＝0，解得x ＝2，y ＝1，即P(2,1)，则|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|
0 0 2 2 1
PP|＝.
1 2
16．(2023·长春东北师大附中模拟)已知△ABC的顶点C(5,6)，边BC上的中线AD所在直线
方程为x＋4y－16＝0，边AC上的高BE所在直线方程为5x＋2y－15＝0，则△ABC的面积
为________．
答案 13
解析 依题意，AC⊥BE，
设直线AC的方程为2x－5y＋m＝0，
于是2×5－5×6＋m＝0，解得m＝20，
即直线AC：2x－5y＋20＝0，
由解得即点A(0,4)，
设点B(a，b)，则线段BC的中点D，
于是
解得即点B(3,0)，
因此点B(3,0)到直线AC的距离d＝＝，|AC|＝＝，
所以△ABC的面积为|AC|·d＝××＝13.
