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§8.3 圆的方程
课标要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方
程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到________的距离等于________的所有点的集合(或轨迹)叫作圆
圆心C________
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
方 半径为________
程 圆心C____________
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
半径r＝___________
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|>r⇔M在________，即(x－a)2＋(y－b)2>r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在________，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|0.( )
(4)若点M(x，y)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx＋Ey＋F>0.( )
0 0 0 0
2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝
3．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
4．下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是( )
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
题型一 圆的方程
例1 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的
方程为________________________．
思维升华 求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四点共圆，则a＝
________.
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为
__________________________．
题型二 与圆有关的轨迹问题
命题点1 直接法
例 2 已知 A(－2,0)，B(2,0)，动点 M 满足|MA|＝2|MB|，则点 M 的轨迹方程是
________________________________________．
命题点2 定义法
例3 (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，
且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是( )
A．y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
命题点3 相关点法
例4 已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
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跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
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题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例5 (2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
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圆的参数方程
圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数．
典例 利用圆的参数方程解决例5(2)(3)．
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命题点2 利用函数求最值例6 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则
PA·PB的最大值为________．
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(
)
A．6 B．25 C．26 D．36
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________________．
