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§8.5 椭 圆
课标要求 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对
称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
平面内到两个定点F ，F 的距离之和等于 (大于|FF|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．
1 2 1 2
这两个定点F，F 叫作椭圆的 ，两个焦点间的距离|FF|叫作椭圆的 ．
1 2 1 2
注意：(1)当动点M满足|MF |＋|MF |＝常数>|FF|时，动点M的轨迹为椭圆；
1 2 1 2
(2)当动点M满足|MF |＋|MF |＝常数＝|FF|时，动点M的轨迹为以F，F 为两端点的线段；
1 2 1 2 1 2
(3)当动点M满足|MF |＋|MF |＝常数<|FF|时，动点M的轨迹不存在．
1 2 1 2
2．椭圆的简单几何性质
焦点
焦点在x轴上 焦点在y轴上
的位置
图形
＋＝1 ＋＝1
标准方程
(a>b>0) (a>b>0)
范围
顶点
轴长 短轴长为________，长轴长为________
焦点
焦距 |FF|＝________
1 2
对称性 对称轴：____________，对称中心：________
离心率
a，b，c
的关系
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x，y)与两焦点构成的△PFF 叫作焦点三角形．如图所示，设∠FPF＝θ.
0 0 1 2 1 2(1)当P为短轴端点时，θ最大， 最大．
(2)|PF| ＝a＋c，|PF| ＝a－c.
1max 1min
(3)|PF|·|PF|≤2＝a2.
1 2
(4)4c2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|cos θ.
1 2 1 2
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设F(－4,0)，F(4,0)为定点，动点M满足|MF |＋|MF |＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(
1 2 1 2
)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
2．若椭圆＋＝1上一点P与焦点F 的距离为4，则点P与另一个焦点F 的距离为( )
1 2
A．6 B．3 C．4 D．2
3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
4．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知圆C ：(x＋1)2＋y2＝25，圆C ：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C 外切，同时与圆
1 2 2
C 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
1
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
(2)(2023·眉山模拟)已知P是椭圆＋＝1上的点，F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则
1 2
△FPF 的面积为____________________________．
1 2
跟踪训练1 (1)(2023·郑州模拟)若F ，F 分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A，B为C上
1 2
两动点，且A，B，F 三点共线，则△ABF 的周长为( )
1 2
A．4 B．8 C．10 D．20(2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我
国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸
(如图)．
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．圆面上所有这些折痕围成一
条曲线，记为C.
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点
M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为________．
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交
于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的
椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设
为＋＝λ或＋＝λ(a>b>0，λ>0)．
跟踪训练2 (1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F(0,2)，F(0，－2)，P为椭圆上
1 2
任意一点，若|FF|是|PF|，|PF|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
1 2 1 2
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过坐标原点的直线交E于P，Q
1 2
两点，且PF⊥FQ，且 ＝4，|PF|＋|FQ|＝6，则椭圆E的标准方程为( )
2 2 2 2
A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例3 (1)(2023·太原模拟)设F ，F 是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F 且斜率为
1 2 1
的直线交椭圆于点P，若2∠PFF＝∠PFF，则椭圆E的离心率为( )
1 2 2 1
A．2－ B.－1
C. D.
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对
称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例4 (多选)已知椭圆＋＝1，F ，F 为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(
1 2
)
A． 的最大值为4
B．|PF|的取值范围是[4－2，4＋2]
1
C．不存在点P使PF⊥PF
1 2
D．|PB|的最大值为2
跟踪训练3 (1)已知M，N是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上
异于M，N的点，且PM·PN的最大值是a2，则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
(2)已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则MA·MF的取值范围
为( )
A．[－16,0] B．[－8,0]
C．[0,8] D．[0,16]
