文档内容
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
5.1 相 交 线
邻补角、对顶角的概念及其性质
知识点一
◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
关系的两个角，互为对顶角．
◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
◆4、对顶角的性质：对顶角相等．
垂线的概念、画法及其性质
知识点二
◆1、概念：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
◆2、画法
一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
◆3、性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直
线外都可以．
垂线段与点到直线的距离
知识点三
◆1、垂线段：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
◆2、垂线段的性质：
连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对
于这点与直线上其他各点的连线而言．
◆3、点到直线的距离：
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出
或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
同位角、内错角、同旁内角
知识点四
◆1、同位角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同
旁，则这样一对角叫做同位角．
◆2、内错角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两
旁，则这样一对角叫做内错角．
◆3、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同
旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位
置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上
此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成
“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．题型一 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题1】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A．∠AOC和∠BOE是对顶角 B．∠COE和∠AOD是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角 D．∠AOE和∠DOE是对顶角
【分析】根据对顶角的定义可解此题．
【解答】解：∵OE⊥AB于点O，
∴∠AOE＝90°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠COE，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．解题技巧提炼
分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再
判断两个角的两边是否互为反向延长线.
【变式1-1】（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，
图 中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【点评】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确判断的前提．
【变式1-2】（2021春•荆门期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这
种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-3】（2021秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
【分析】根据邻补角的概念判断即可．
【解答】解：∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，∠3与∠2是邻补角，∠3与∠4是邻补角，∠5
与∠6是邻补角，∠5与∠8是邻补角，∠6与∠7是邻补角，∠7与∠8是邻补角共8对，
故选：D．
【点评】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系
的两个角，互为邻补角．
【变式1-4】（2021春•朝阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A.互补的两个角是邻补角；
B．相等的角必是对顶角；
C．对顶角一定相等；
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
【分析】根据邻补角以及对顶角的定义解决此题．
【解答】解：A．有一条边是公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故A不符合题意．
B．对顶角指角的两边互为反向的延长线的两个角，相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意．
C．根据对顶角的性质，得对顶角一定相等，故C符合题意．
D．等腰三角形的底角相等，但两个底角不是对顶角，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角，熟练掌握邻补角以及对顶角的定义是解决本题的关键．
【变式1-5】（2022春•迁安市期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直
线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3
图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．【分析】先将图①②③中的对顶角对数求出来，观察规律即可求解．
【解答】解：当2条直线相交于一点时对顶角有1×2=2对，
当3条直线相交于一点时对顶角有2×3=6对，
当4条直线相交于一点时对顶角有3×4=12对，
∴对顶角对数与直线条数的关系为：
对顶角对数=（直线条数-1）×直线条数，
∴当n条直线相交于一点时对顶角有（n﹣1）n=n2﹣n（对），
故答案为：2；6；n2﹣n.
【点评】本题考查对顶角的相关知识点，解题的关键是得出对顶角对数与直线条数的关系为：对顶角对数
=（直线条数-1）×直线条数．
题型二 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题2】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．
（1）直接写出∠DOE的补角；
（2）直接写出∠DOE的余角；
（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．
【分析】（1）根据互补的定义确定∠DOE的补角；
（2）根据互余的定义确定∠DOE的余角；（3）运用平角的定义和角平分线的定义得∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∠DOE的补角是：∠EOC．
（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC．
（3）因为OF平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，
又因为∠AOE＝90°，
所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°．
【点评】本题考查了角平分线、补角、余角的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定
义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
【变式2-1】（2022春•仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的
度数是（ ）
A．42° B．48° C．96° D．132°
【分析】根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵∠AOB和∠COD是对顶角，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠AOB＝48°，
∴∠COD＝48°．
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角的性质，对顶角的性质：对顶角相等．邻补角、对顶角成对出现，在相交直
线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系
它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【变式 2-2】（2022春•交城县期中）如图，直线 AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则
∠AOD的度数为 ．【分析】根据邻补角的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，
∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°．
∴∠AOC＝45°．
∴∠AOD＝3∠AOC＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．
【变式 2-3】（2021秋•凤庆县期末）如图，直线 AC和直线 BD相交于点 O，OE平分∠BOC，若
∠1+∠2＝80°，求∠3的度数．
【分析】由∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2可求∠2，于是得出∠BOC的度数，再由OE平分∠BOC，即可求出
∠3．
【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠2＝140°，
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠3= ∠BOC＝70°
2
【点评】本题考查角的计算，关键是掌握对顶角，邻补角的性质，角平分线的定义．
【变式 2-4】（2022•西华县三模）如图，直线 AB，CD相交于点 O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝
2∠DOE，则∠DOB的度数为 ．【分析】设∠DOB＝x，根据邻补角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠DOB＝x，
则∠AOD＝180°﹣x，
由题意得：180°﹣x＝2（x+15°），
解得：x＝50°，
∴∠DOB＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．
【变式2-5】（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线
OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数．
【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．
∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，
∴∠AOE＝20°．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．
∵射线OF平分∠DOE，
1
∴∠DOF= ∠DOE=50°．
2
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义是解决本题的关键．
【变式2-6】（2021秋•连城县期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图
1）．
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值．
【分析】（1）设∠BEC的度数为x，根据∠BEC的补角是它的余角的3倍列方程解方程可得；
（2）根据角平分线的定义得：∠AEF＝∠DEF，根据∠FEG＝105°，得∠AEG＝105°﹣∠AEF，根据平角
的定义可得∠CEG＝180°﹣105°﹣∠DEF，最后可得结论．
【解答】解：（1）设∠BEC的度数为x，
则180﹣x＝3（90﹣x），
解得：x＝45°，
∴∠BEC＝45°，
（2）∵射线EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∵∠FEG＝105°．
∴∠AEG+∠AEF＝105°，
∵∠CEG＝180°+105°＝∠DEF＝75°+∠DEF，
∴∠AEG﹣∠CEG＝105°﹣∠AEF＝（75°﹣∠DEF）＝30°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
题型三 有关垂线的综合应用【例题3】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的
度数为（ ）
A．20° B．70° C．110° D．90°
【分析】利用∠1与∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC与∠BOC互补求出∠DOC．
【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，
∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查垂直的定义，得出∠1与∠BOC互余，∠DOC与∠BOC互补是解题的关键．
解题技巧提炼
结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻
补角等定义计算.
【变式3-1】（2021秋•北林区期末）如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（ ）
A．48° B．32° C．24° D．66°
【分析】利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性质，得出∠SQT＝∠PQT﹣
∠PQS．
【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，
∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，
又∵SQ⊥QR，∴∠PQT＝90°，
∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，
＝90°﹣42°，
＝48°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，掌握余角的和等于90°是关键．
【变式3-2】（2022春•潼南区期末）如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝
60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100° B．120° C．150° D．160°
【分析】根据对顶角相等得出∠DEB，根据垂直的定义求出∠FEB，相加可得结果．
【解答】解：∵∠CEA＝60°，
∴∠BED＝60°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF＝∠DEB+∠FEB＝60°+90°＝150°，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是根据对顶角相等求出∠DEB．
【变式3-3】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝
128°，则∠BOF的度数为 ．
【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF
＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠DOF＝∠EOC＝52°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38°．
【点评】本题主要考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和垂线的定义，求得∠DOF的度数是解题的关
键．
【变式3-4】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B
的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
x＝3x﹣20，
解得x＝10，
故∠A＝10°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣20＝180，
所以x＝50，
3×50°﹣20°＝130°
故∠A的度数为：10°或130°．
故选：C．【点评】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
【变式3-5】（2022春•西安月考）如图，直线 AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若
∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【分析】由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求出∠BOD的度数，根据对顶角相等
可得∠AOC的度数，再根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：设∠BOD＝x°，则∠BOE＝4x°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，
∵∠BOD+∠BOC＝180°，
∴x+8x＝180，
∴x＝20，
∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．
【点评】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角平
分线的定义，垂线的定义，对顶角的性质．
【变式 3-6】（2021秋•梁河县期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．
（1）求∠EOF的度数；
（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．
【分析】（1）利用对顶角相等，角平分线的定义，垂线的性质求解即可．
（2）OE平分∠AOF．分别求出∠AOE，∠EOF即可判断．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD＝∠DOF，
∵∠BOD＝∠AOC＝35°，
∴∠DOF＝35°，
∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°．
（2）OE平分∠AOF．理由如下：
∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝35°，
∴∠AOE＝55°，
∵∠EOF＝55°，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
常考题型．
题型四 垂线段最短的实际应用
【例题4】（2022春•青龙县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（
）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
解题技巧提炼
抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线
段的性质和线段的性质求解.
【变式4-1】（2021秋•朝阳区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的
跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断．
【解答】解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这
一现象的数学知识是垂线段最短．故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳
远比赛的规则．
【变式4-2】（2022•兴宁区校级开学）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得
行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】由垂线的性质，可选择．
【解答】解：A、垂线的一条性质，故A不符合题意；
B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查垂线 的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
【变式4-3】（2022•馆陶县二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是
（ ）
A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释．【分析】分别根据垂线段的性质以及两点之间线段最短的性质判断即可．
【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，
故选：C．
【点评】本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键．
【变式4-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行
的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位
置（用点M表示），依据是 ；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄 P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出
车站的位置（用点N表示），依据是 ．
【分析】（1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案；
（2）利用线段的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．
【变式4-5】（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；
（2）根据垂线段最短即可求解；
（3）由互余、互补的定义解题即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵CD⊥AD，
∴CA＞CD；
（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAC与∠DCA互余，
∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，
∴∠ADC与∠BDC互补，
故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．
【点评】本题考查垂线段最短，两个角的互余、互补，熟练掌握垂线段最短，两个角的互余、互补的定
义，会作图线段、射线、垂线段是解题的关键．
题型五 点到直线的距离
【例题5】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、
PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（ ）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．无法确定
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：根据垂线段最短，则P到M的最短距离为不小于4.5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
解题技巧提炼
分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂
线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.
【变式5-1】（2022秋•道里区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是
点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离判断即可得到
答案．
【解答】解：A、线段AC的长是点A到BC的距离，错误正确，不合题意；
B、线段CD的长是点C到AB的距离，错误，不合题意；
C、线段BC的长是点B到AC的距离，正确，符合题意；D、线段BD的长是点B到CD的距离，错误，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查的是点到直线的距离，掌握其概念是解决此题的关键．
【变式5-2】（2022春•渠县校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一直线的两条直线互相平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示对各小题分析判断即可得
解．
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②过平面上的一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本命题错误；
③平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本命题错误；
综上所述，正确的有①，③共2个．
故选：C．
【点评】本题考查了直线、线段的性质，点到直线的距离，两点间的距离的定义，是基础题，熟记性质
与概念是解题的关键．
【变式5-3】（2022春•九龙坡区校级期中）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设
点P到直线l的距离是d cm，则（ ）
A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可．
【解答】解：∵点P到直线l的距离是d cm，点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短PA＝4cm
∴d≤4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知垂线段最短是解题的关键．
【变式 5-4】（2022 春•巨野县期中）直线 l 上有 A、B、C 三点，直线 l 外有一点 P，若
PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（ ）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【解答】解：∵PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,
∴P点到直线l的距离不大于2cm.
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离以及垂线段性质，熟记概念与性质是解题的关键．
【变式5-5】（2021春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 的长度．
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，如图所示，
（2）B到AC的距离是线段BC的长度，
故答案为：BC．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，已知点到直线的距离垂线段最短是解题的关键．
【变式5-6】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝
3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距是 cm．
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求．
（2）先画垂线段，再计算距离．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴点B到AC的距离是线段BC的长度，点A到BC的距是线段AC的长度．
故答案为：4，3．
（2）如图：
作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．
1 1
∵S△ABC =
2
BC•AC =
2
AB•CD．
BC⋅AC 12
∴CD= = （cm）．
AB 5
【点评】本题考查点到直线的距离，找到点到直线的距离是求解本题的关键．
题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题6】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表
被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两
个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三
个图是同旁内角．
故选：B．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区
别它们．
解题技巧提炼
本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及
的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就
不是；如果有，再根据角的位置特征判断.
【变式6-1】（2022春•八步区期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同旁内角
C．∠2和∠4是对顶角
D．∠3和∠5是同位角
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义判断即可．
【解答】解：A、∠1和∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；
B、∠4和∠5是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∠2和∠4是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、∠3和∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了同位角、内错角及同旁内角的知识，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定
义和形状是解题的关键．
【变式6-2】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；
③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ．（只填序号）
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：如图：
∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①正确；
∠1与∠A是直线CD、直线AC，被直线AB所截的一对同位角，因此②正确；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③正确；
∠B与∠ACB是直线AB、直线AC，被直线BC所截的一对同旁内角，因此④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进
行判断是关键．
【变式 6-3】（2022 春•赵县月考）如图所示，直线 AB 与 BC 被直线 AD 所截得的内错角是
；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．
【分析】根据内错角的定义找出即可．
【解答】解：直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是∠1和∠3，
直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4，图中∠4的内错角是∠2和∠BED，
故答案为：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义等知识点，能正确识图是解此题的关键．
【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是 ；与∠DFB成
同旁内角的是 ．
【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这
些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】解：如图，与∠FDB成内错角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，与∠DFB成同旁内角的是：
∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF．
故答案分别是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，
应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角
的位置关系．
【变式6-5】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；
（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；
（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第
三
条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．进行解答．
【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；
内错角：∠B和∠DAB；
同旁内角：∠EAB和∠B；
（2）内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；
同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA；
（3）内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；
同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG．
【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁
内角
的边构成“U”形．
【变式6-6】（2021春•莘县期末）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内
错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成
的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角
进行分析即可，进而画出图形即可；
（2）设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，利用邻补角的关系得到x，进而求出∠1，∠2，∠3的度数．
【解答】解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
∵∠1+∠3＝180°，
∴x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°．
【点评】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．
