文档内容
培优点 10 阿波罗尼斯圆与蒙日圆
在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚
焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档．
题型一 阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点 A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数
λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
例1 (1)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证
明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人
将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆T：＋＝1(a>b>0)，A，B为椭圆T长轴的端点，C，D为
椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左、右焦点，动点M满足＝2，△MAB面积的最
大值为4，△MCD面积的最小值为，则椭圆T的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)已知点P是圆(x－4)2＋(y－4)2＝8上的动点，A(6，－1)，O为坐标原点，则|PO|＋2|PA|的
最小值为________．
思维升华 阿波罗尼斯圆的逆用
当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用
两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标．
跟踪训练1 (1)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时
期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，
指的是：已知动点M与两个定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是
阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最大
值为( )
A．16＋8 B．8＋4
C．7＋4 D．3＋
(2)在平面直角坐标系Oxy中，M，N是x轴上两定点，点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，
且满足|PM|＝2|PN|，则|MN|＝________.
题型二 蒙日圆
在椭圆＋＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆
的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆．设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点．
性质1 PA⊥PB.
性质2 k ·k ＝－.
OP AB
性质3 k ·k ＝－，k ·k ＝－(垂径定理的推广)．
OA PA OB PB
性质4 PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5 延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
性质6 S 的最大值为，S 的最小值为.
△AOB △AOB
性质7 S 的最大值为，S 的最小值为.
△APB △APB
例2 (1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆
上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭
圆C：＋＝1(a>0)的蒙日圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l，l，它们与椭
1 2
圆＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.
①求证：对于圆上的任意点A，都有l⊥l 成立；
1 2
②求△AMN面积的取值范围．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
跟踪训练2 (多选)(2023·泰州模拟)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：
与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为
该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，
1 2
A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是( )
A．椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2
B．对直线l上任意一点P，PA·PB>0
C．记点A到直线l的距离为d，则d－|AF|的最小值为b
2
D．若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
1．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切
线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＋＝1(a>0)的
离心率为，则椭圆C的蒙日圆方程为( )
A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝42．在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆＋y2＝1的两条互相垂
直的切线，则r的取值范围是( )
A．(3,7) B．[3,7] C．(1,9) D．[1,9]
3．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的
轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，则当△ABC的
面积最大时，|BC|等于( )
A．12 B．20 C．2 D．5
4．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,0)，B(4,0)，若直线x－y＋m＝0上存在点P使得|
PA|＝|PB|，则实数m的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，2]
5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交
点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 C：
＋＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的
两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为4b2，则椭圆C的离心
率为( )
A. B. C. D.
6．阿波罗尼斯圆指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么
点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆 O：x2＋y2＝
1，点A和点B，M为圆O上的动点，则2|MA|－|MB|的最大值为( )
A. B. C. D.
7．(多选)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(2,0)，动点C满足＝，直线l：mx－y＋m＋1＝
0，则( )
A．动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4
B．直线l与动点C的轨迹一定相交
C．动点C到直线l距离的最大值为＋1
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|＝2，则m＝－1
8．(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现
与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该
椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作
Γ的两条互相垂直的切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则( )
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2－)aD．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k，k，则kk＝－
1 2 1 2
9．(2023·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：＋y2＝1(a>1)上，动点P在直线3x＋4y－10
＝0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为__________．
10．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点
A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名
字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2,1)，B(－
2,4)，点P是满足λ＝的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为______________________；
若点Q为抛物线E：y2＝4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则|PA|＋|PQ|＋|QH|的最小值
为________________．
