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§8.12 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为，过F 的直线与椭圆交于M，N
1 1
两点，当MN⊥x轴时，|MN|＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点H(0，－1)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直
线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围．
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跟踪训练1 (2024·佛山模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右
焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形．
(1)求双曲线C的方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k ，k ，若kk ＝－2，求点A
1 2 1 2
到直线MN的距离d的取值范围．
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题型二 最值问题
例2 (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|
AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，FM·FN＝0，求△MFN面积的最小值．
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思维升华 圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这
个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性
法等．
跟踪训练2 (2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E
上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，
分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
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