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§8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长
公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与
圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝
＝|x－x|
1 2
＝，
或|AB|＝|y－y|
1 2
＝.
常用结论
1．已知M，N是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，
则k ·k ＝－.
MN OP
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则k ·k ＝.
MN OP
3．若曲线为抛物线，P(x ，y)为弦MN的中点：k ＝(开口向右)，k ＝－(开口向左)，k
0 0 MN MN MN
＝(开口向上)，k ＝－(开口向下)．
MN
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．( √ )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．( × )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．( √ )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．( √ )
2．(选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k
的值是( )
A. B．－C．± D．±
答案 C
解析 由
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
3．(选择性必修第一册P136T3改编)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，
则线段AB的长是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案 C
解析 联立
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝6，xx＝1，
1 2 1 2
所以|AB|＝＝×＝8.
4．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率
为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴－＝1，－＝1，
两式相减得＝，
∵M(3,2)是线段AB的中点，
∴x＋x＝6，y＋y＝4，
1 2 1 2
∴＝，∴k ＝＝.
AB
方法二 由k ·k ＝＝，
AB OM
得k ＝·＝×＝.
AB
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点答案 AB
解析 直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能
相切．
(2)已知直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(00)有且仅有1个交点，则双曲线C的离
心率为( )
A．5 B. C. D.
答案 D
解析 因为直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(00)有且仅有1个交点，
联立
可得(4b2－a2)x2＋8b2x＋4b2－a2b2＝0.
所以①直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(00)的渐近线平行，
则可知4b2－a2＝0⇒＝，
则双曲线C的离心率e＝＝.
②直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(00)相切，
所以
化简得a2＝4b2＋4≥4，则a≥2，不符合题意．
所以双曲线C的离心率为.
思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线
平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪训练1 (1)(2023·北京海淀模拟)已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均
有公共点，则点P的坐标可以为( )
A．(0,1) B．(1，－3)
C．(3,4) D．(2，－2)
答案 D
解析 点(0,1)在y轴上，
所以点(0,1)在抛物线外部，
将x＝1代入抛物线C：y2＝4x中，
则|y|＝2<3，所以点(1，－3)在抛物线外部，
将x＝3代入抛物线C：y2＝4x中，
则|y|＝2<4，所以点(3,4)在抛物线外部，
将x＝2代入抛物线C：y2＝4x中，
则|y|＝2>2，
所以点(2，－2)在抛物线内部，将选项中的点分别在平面直角坐标系中画出来，只有点(2，－2)在抛物线内部，
故当点P的坐标为(2，－2)时，
经过点P的任意一条直线与C均相交，均有公共点．
(2)已知双曲线C：－y2＝1，过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 B
解析 由双曲线方程知，右顶点坐标为(2,0)，
渐近线方程为y＝±x，
显然P(2,1)在y＝x上，如图所示，
所以过点P的直线x＝2以及与y＝－x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点．
故共有两条直线满足要求．
题型二 弦长问题
例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率
为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点
共线的充要条件是|MN|＝.
(1)解 由题意得，
椭圆半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
必要性：
若M，N，F三点共线，
可设直线MN：y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立可得4x2－6x＋3＝0，所以x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，
即kx－y＋m＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1，
联立
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝·
＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充
要条件是|MN|＝.
思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦
点F 的距离为1.
1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程．
1 △BMN
解 (1)由得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F(－1,0)，B(2,0)，
1
设直线l的方程为x＝my－1，
M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
即y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
又S ＝|BF|·|y|＋|BF|·|y|
△BMN 1 1 1 2
＝|BF|·|y－y|
1 1 2
＝|BF|·
1＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
题型三 中点弦问题
例3 (2024·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，短
1 2
轴顶点分别为M，N，四边形MF NF 的面积为32.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
解 (1)因为离心率e＝＝，所以a＝c，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF NF 的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4，
1 2
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意得，直线l的斜率存在．
设A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
两式相减得＋＝0，
所以＝－·.
因为AB的中点坐标为(－2,1)，
所以＝1，所以直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ，y)，B(x ，y)，将这两点坐标
1 1 2 2
分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 AB的中点和直线AB的斜率
有关的式子，可以大大减少计算量．
跟踪训练3 (1)已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是( )
A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0
C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0
答案 B
解析 设直线l交双曲线x2－＝1于点M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则由已知得
两式作差得x－x＝，
所以＝＝6，
即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.经检验满足题意．(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x
－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
答案 A
解析 ∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x.设点P(x，y)，Q(x，y)．
1 1 2 2
则则(y－y)(y＋y)＝2(x－x)，
1 2 1 2 1 2
∴k ＝，又∵P，Q关于直线l对称，
PQ
∴k ＝－1，即y＋y＝－2，
PQ 1 2
∴PQ中点的纵坐标为＝－1，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．
课时精练
一、单项选择题
1．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A．(4,9] B．[4，＋∞)
C．[4,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
答案 C
解析 直线kx－y＋2＝0过定点(0,2)，
所以＋≤1，解得m≥4.①
由于方程＋＝1表示椭圆，
所以m>0且m≠9.②
由①②得m的取值范围是[4,9)∪(9，＋∞)．
2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|
AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 C
解析 由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，
则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，
代入抛物线方程解得p＝1.3．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于
( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 ∵x＋4y＋m＝0，
∴y＝－x－，
设A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
两式相减得＝－＝－，
∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为，
将代入直线y＝－x－，解得m＝－2.
4．已知点F(－1,0)，F(1,0)，直线l：y＝x＋2.若以F ，F 为焦点的椭圆C与直线l有公共
1 2 1 2
点，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，
由题意知其左、右焦点分别是F(－1,0)，F(1,0)，可得c＝1，
1 2
联立
得(a2＋b2)x2＋4a2x＋4a2－a2b2＝0，
Δ＝16a4－4(a2＋b2)(4a2－a2b2)≥0，
可得4a2－(2a2－1)(5－a2)≥0，
解得a≥，e＝≤＝.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F ，F ，过
1 2
点F 且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF 的周长为36，则双曲线C
2 1
的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
答案 D
解析 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以b＝a，则双曲线方程为－＝1(a>0)，F(－a,0)，F(a,0)，
1 2
所以直线l为y＝(x－a)，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由得x2－6ax＋11a2＝0，
则x＋x＝6a，xx＝11a2，
1 2 1 2
所以|MN|＝·＝2＝16a，
因为|MF |＝|MF |＋2a，|NF |＝|NF |＋2a，
1 2 1 2
所以|MF |＋|NF |＝|MF |＋|NF |＋4a＝|MN|＋4a＝20a，
1 1 2 2
因为△MNF 的周长为36，所以|MF |＋|NF |＋|MN|＝36，
1 1 1
所以20a＋16a＝36，解得a＝1，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
6．(2023·沈阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B
两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为(
)
A．1 B. C．2 D．2
答案 B
解析 由题设，＝，
即＝1－＝1－＝，可得a2＝6>2，
过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，
且满足|PA|＝|PB|，则P为线段AB的中点，
所以x ＋x ＝3，y ＋y ＝1，
A B A B
又＋＝1，
＋＝1，
则＋＝0，
即＝－，
所以＝－＝－1，
故直线AB的方程为y－＝－，即x＋y－2＝0，
所以|OM|的最小值为＝.
二、多项选择题
7．关于双曲线C：－＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线
B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条
C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈
D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
答案 ACD
解析 双曲线C：－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，双曲线－＝1的渐近线方程可表示为
－＝0，整理后都是y＝±x，故A正确；
由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长
的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；
由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，
所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，故C正确；
由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点 P能作4条直线与双曲线C
仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．
8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点
B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
解析 如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y
＝－，所以A错误；
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′| ＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
x＝1
即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设P(x ，y)，Q(x ，y)，直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，所以x ＋x ＝k，
1 1 2 2 1 2
xx＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，
1 2
所以|OP|·|OQ|＝·＝＝·xx＝＝>2＝|OA|2，所以C正确；
1 2
|BP|·|BQ|＝·
＝·
＝
＝
＝＝
＝
＝＝k2＋1>5＝|BA|2，所以D正确．
三、填空题
9．已知m为实数，直线mx＋y－1＝0与椭圆＋y2＝1的交点个数为________．
答案 2
解析 因为直线方程为mx＋y－1＝0，
所以直线过定点(0,1)，定点在椭圆上，
又因为m≠0，所以直线与x轴不平行，
所以直线和椭圆相交，所以交点个数为2.
10．已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直
线交T于A，B两点，若|AB|＝，则椭圆T的方程为________．
答案 ＋＝1
解析 ∵a＝2b，则c＝b，
∴椭圆T：＋＝1，左焦点F(－b,0)，
直线AB：y＝x＋b，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立方程
消去y得5x2＋8bx＋8b2＝0，
∴x＋x＝－b，xx＝，
1 2 1 2
|AB|＝＝，
可得b2＝2，
∴椭圆T：＋＝1.
11．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距
离的最大值为________．
答案 5
解析 设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切，
联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0，解得m＝5或m＝－5，
∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0，
且两平行直线间的距离为d＝＝＝5，
∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5.
12．已知斜率为2的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，若点P(2,1)是线
段AB的中点，则C的离心率等于________．
答案解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则
得－＝0，
即－＝0，
因为点P(2,1)是线段AB的中点，
所以－＝0，
得－＝0，
又因为直线l的斜率为2，
所以－2×＝0，
得a2＝b2，
即a2＝c2－a2，
所以C的离心率e＝＝.
四、解答题
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为，长轴长为4.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取
值范围．
解 (1)因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
当k≠0时，有k ＝＝－，
AB
设AB中点的坐标为(x，y)，
0 0
又
两式相减得3(x＋x)(x－x)＝－4(y＋y)(y－y)，即3kx＝4y，
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0
又y＝k，
0
解得x＝1，y＝，
0 0
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以＋<1，即＋<1，
解得－20，b>0)的两个焦点分别为F(－2,0)，F(2,0)，点P(5，)在双曲
1 2线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面
积为2，求直线l的方程．
解 (1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0
