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专题 05 构造法求数列通项的八种技巧(二)
【必备知识点】
◆构造四:同型构造法
所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同
的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.
模型一: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型二: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型三: ,构造 ,则 ,
为常数数列.
模型四: ,构造 ,则 , 为等比数列.
模型五: ,构造
,则 , 为等比数列.
模型六: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型七: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型八: ,构造 ,则 , 为等差数列.
看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式
子,尽量将 和 , 和 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.
【经典例题1】已知数列 满足 ,求 .
【解析】
因为 ,所以 令 ,则 ,即 是常数数列,所以 ,即
.【经典例题2】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
因为 ,所以 令 ,则 ,
即 是常数数列,所以 因此
【经典例题3】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
,等式两侧同除 ,形成 ,令 ,则 ,这
又回到了构造一的形式,所以 , 是以 2 为首项,2 为公比的等差数列,即
, ,所以 , .
【经典例题4】已知 ,且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
等式两侧同除 ,得 ,即
, ,另 ，
所以 ,接下来就是叠加法发挥作用的时候了
……叠加得 , ,所以 ，即 ， .
【练习1】已知数列 满足 ,则
A. 28 B. C. D.
【答案】B
【解析】
数列 满足 ,
,
则: (常数)
则：数列 是以 为首项,3为公差的等差数列。
所以： ,
所以：
则:
故选：B
【练习2】已知 是首项为1的正项数列,且 ,则它的通项公
式是 ______________.
【解析】
已知等式可转化为 因为 ,所以 ,所以
令 ,则 ,即 是常数数列,所以 ,即 ,因此
.
评注:
本题是关于 和 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到 与 的更为明显的关系式,从而求出 .
【练习3】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【解析】
将等式两边同时除以 得, ,所以 是以 为首项,3为公差的等差数列,即
,所以 .
【练习4】已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式.
【解析】
等式两侧同除 ,得 ,即
,另 ，所以 ,接下来依旧是叠加法
……
叠加得 , , ,即 ,
,当 时,代入题干原式得 ,经检验可以合并,
.
【练习4】已知数列 前 项的和为 ,且满足 .
(1)求 的值;
(2)求 的通项公式.
【解析】
(1)当 时,因为 ,所以 .当 时,因为 ,所以 .
(2) ,所以当 时, 所以 ,即
所以 令 ,则 ,即 是常数数列,所
以 因此 .
◆构造五:取倒数构造等差
类型一:数列 满足: ,则有 .
所以 是以 为首项, 为公差的等差数列,即 .(当分母出现加减时,我们很难将它
进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).
类型二:数列 满足: ,则有 .
所以 是等差数列.
类型三:若数列 的前 项和为 ,且满足 ,则有 ,两边同除以
得: ,故 是以 为首项, 为公差的等差数列,即 ,再用
,求 .
【经典例题1】在数列 中,若 ,则
___________.
【解析】
取倒数得: ,即 所以数列 是首项为1,公差为2的等差数列
,所以 .【经典例题2】已知数列 的前 项和为 ,且满足 .
(1)求证: 是等差数列.
(2)求 的表达式.
【解析】
(1)因为 ,所以 ,两边同除以 得: ,故 是以
为首项,2为公差的等差数列,即 ,所以 .
(2) .
【经典例题3】已知数列 的首项 ,证明:数列 是等比数列并
求 的通项公式.
【解析】
因为 ,所以 ,所以 是以
为首项, 为公比的等比数列,所以 .
【练习1】设 是数列 的前 项和,且 ,则
A. B. C. D.
【答案】
【解析】是首项为 ,公差为-1的等差数列
综上所述，答案选择:
【练习2】已知 中, ,则
_______.
【答案】
【解析】
数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
, .
【练习3】已知数列 ,求 的通项公式.
【答案】
【解析】由已知得 ,则 ,即 .所以数列
是以 为公差的等差数列.所以 ,即
.
【过关检测】
一、单选题
1．已知数列 满足 ， ，则数列 的前100项的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
， ，且 ，
所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 ，
即 ，
.
故选：A
2．数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
【答案】D
【解析】
由 ，且 ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
所以， ，所以 ，且 ，
所以，数列 是等差数列，且该数列的首项为 ，公差为 ，所以， ，则 ，其中 ，C对；
，所以，数列 是等比数列，B对；
由等差中项的性质可得 ，A对；
由上可知 ，则 ， ，
所以， ，D错.
故选：D.
3．若数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题设， ，而 ，所以 ，则 .故选：A
4．已知数列 满足 ， ， ，则满足 的n的最大取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
解：因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
数列 是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以 ，所以 ，由 ，即 ，即 ，解得 ，因为 为正整数，所以 的最大值为 ；
故选：C
5．已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
因为 ，两边取倒数，得 ，
整理为： ， ，
所以数列 是首项为1，公差为4的等差数列，
， ，
因为 ，即 ，得 ，
解得： ， ,
所以 的最大值是7.
故选：B
6．已知数列 满足： ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意， ，即 ，故 ，又因为 ，所以数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而 ，解得 .
故选：C.
7．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，所以两边取倒数得
，则 ，所以数列 为等比数列，
则 ，所以 ，
故 .
故选：C.
8．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，可得 ，即 .
又 ，所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，所以 ，
所以 .
故选： .
二、多选题
9．设数列 的前n项和为 ，已知 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． D．
【答案】BC
【解析】
由题意得 ，故 是首项为2，公比为2的等比数列，
，则 ．故B，C正确，A错误
,
,
两式相减得： ，故D错误．
故选：BC
10．已知数列{ }满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为等比数列 B．{ }的通项公式为
C．{ }为递增数列 D． 的前n项和【答案】AB
【解析】
因为 ，所以 ，又 ，所以 是以2为首项，3为公比
的等比数列， 即 ，所以{ }为递减数列， 的前n项和
．
故选:AB．
三、填空题
11．已知数列 ， 满足 ， ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】
， ， ， ，
，
，即： ，
是以首项为 ，公差为 的等差数列，
， ，
，
.故答案为： .
12．已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为______．
【答案】
【解析】
解：因为 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，则 ，
令数列 的前 项和为 ，
则
故答案为：
13．已知数列 满足 ，且 ，则数列 __________
【答案】
【解析】
解：由 两边取倒数可得 ，即
所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，所以 ，
所以 ；故答案为：14．已知数列 的首项 ，且对任意的 ，都有 ，则 ______．
【答案】
【解析】
因为 ，所以 ，变形得
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列
所以
所以
所以 .
故答案为：0
15．已知数列 满足： ， （ N），由 、 、 归纳出数列 的通项公式是
+
__________.
【答案】
【解析】
， ， ，
，
由此归纳出数列 的通项公式 ，
以下证明：
由 ，得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以数列 的通项公式 ．
故答案为： .
16．数列 满足 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
因为 ，所以 ，
式子两端除以 ，整理得： ，
即 为常数列.
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
17．已知数列 满足 ，且 ，则数列| 的前n项和为______．
【答案】
【解析】
解：由 可得 ，
所以数列 是等差数列，且首项为2，公差为3，则 ，所以 ，
所以数列 的前n项和为 ．
故答案为：
四、解答题
18．已知数列 中， ， .
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若不等式 对于 恒成立，求实数 的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
(1)由 ，可得 ，即
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以
(2)不等式 对于 恒成立
即 对于 恒成立即 对于 恒成立
设 ，
由
当 时， ，即
即
当 时， ，即
即
所以 最大，
所以 ，故 的最小值为
19．已知正项数列 满足 ，且
(1)求正项数列 的通项公式；
(2)求和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由 可变形为： ∴ ．
∵ ∴数列 是首项为2，公差为1的等差数列．
，∴ ．(2)
20．已知正项数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)数列 中， ，由 ，可得
又 ，则数列 是首项为1公差为1的等差数列，则 ，
则数列 的通项公式为
(2)由（1）知 ，则
则数列 的前n项和
由 ，可得 ，即 ．
21．已知数列 的通项公式为 ，
(1)求数列 的通项公式.
(2)若 ，求满足条件的最大整数值.【答案】(1) (2)99
【解析】
(1)解：因为 ，
所以 ，
则 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
(2)解：由（1）可得 ，
则 ，
由 ，则 ，
因为函数 是增函数，
且当 时， ，
当 时， ，所以满足 的最大正整数 的值为99.
