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§8.10 圆锥曲线中常见结论及应用
重点解读 椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而
解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很
重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一
些复杂的问题便能迎刃而解．
题型一 椭圆、双曲线的常用结论及其应用
命题点1 焦点三角形
例1 (2023·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F ，F ，其离心率为
1 2
e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠FPF ＝，已知△FPF 的内切圆的面积为3π，则该椭
1 2 1 2
圆的长轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
跟踪训练1 如图，F ，F 是椭圆C ：＋y2＝1与双曲线C 的公共焦点，A，B分别是C ，C
1 2 1 2 1 2
在第二、四象限的公共点．若四边形AFBF 为矩形，则C 的离心率是( )
1 2 2
A. B. C. D.
命题点2 周角定理
例2 已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M ，M ，…，M 是AB的六
1 2 5
等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P ，P ，…，P ，则直
1 2 10
线AP，AP，…，AP ，这10条直线的斜率乘积为( )
1 2 10
A．－ B．－ C. D.
思维升华 周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实
轴)端点，则椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
周角定理的推广：已知A，B两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或
双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
跟踪训练2 已知直线l：y＝kx与椭圆E：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于
A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(
)
A. B.
C. D.
命题点3 切线、切点弦方程
例3 椭圆C ：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C 在第一象限中的任意一点，过B作C 的
1 1 1切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
跟踪训练3 点P为直线l：y＝x＋1上一动点，过P作双曲线－y2＝1的切线PA，PB，切点
分别为A，B，则直线AB过定点________．
题型二 抛物线的常用结论及其应用
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x ，y)，B(x ，
1 1 2
y)(y>y)两点，则
2 1 2
(1)焦半径AF＝x＋＝，
1
BF＝x＋＝，
2
(2)焦点弦长AB＝x＋x＋p＝，
1 2
(3)S ＝(O为坐标原点)，
△OAB
(4)xx＝，yy＝－p2，
1 2 1 2
(5)＋＝，
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
例4 (1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，
且满足AB＝3FB，S ＝AB，则AB的值为( )
△OAB
A. B. C．4 D．2
(2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，
B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且AF＝3BF，则△OAB的面积是( )
A．4 B. C. D.
跟踪训练4 (1)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，
A在第一象限且AF＝4，则AB＝________.
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两
点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
(3)(2023·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，
则2AF＋BF的最小值为________．
