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§8.11 圆锥曲线中求值与证明问题
题型一 求值问题
例1 (2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，
直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
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跟踪训练1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右顶点分别为A，B，下焦点
为F，若S ＝.
△ABF
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，且与y轴交于点
M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的斜率为－k，求k值．
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题型二 证明问题
例2 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的
距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；[切入点：直接法求轨迹方程]
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.[关键点：对周长放
缩]
[思路分析]
(1)设P(x，y)，直接法求轨迹方程
(2)设点A，B，C的坐标，利用AB⊥BC建立关系
(3)利用弦长公式表示出周长
(4)对周长进行放缩
(5)建立函数，利用导数求最值(1)解 设P(x，y)，则
①处直接法求轨迹方程
两边同时平方化简得y＝x2＋，
故W：y＝x2＋.(2分)
(2)证明 设矩形的三个顶点A，
B，C在W上，且a0，且mn＝－1，则，(6分)
BC
②处得到m，n之间的关系
设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|，
k －k ＝c－a＝n－m＝n＋，
BC AB
则C＝
③处用弦长公式表示周长
(8分)
④处进行周长放缩
易知>0.
则
⑤处建立函数
f′(x)＝22，令f′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
则(10分)
⑥处利用导数求最值
故C≥＝，即C≥3.
当C＝3时，n＝，m＝－，与当(b－a)＝(b－a)，
即m＝n时等号成立，矛盾，
⑦处排除边界值
故C>3，得证．(12分)
跟踪训练2 (2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心
率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A ，A ，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在
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第二象限，直线MA 与NA 交于点P.证明：点P在定直线上．
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思维升华 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关
系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与
圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通
过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
