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§8.11 圆锥曲线中求值与证明问题
题型一 求值问题
例1 (2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两
点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
解 (1)将点A的坐标代入双曲线方程得
－＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
由题易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得
(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故x＋x＝－，xx＝.
1 2 1 2
k ＋k ＝＋
AP AQ
＝＋＝0，
化简得2kxx＋(m－1－2k)(x＋x)－4(m－1)＝0，
1 2 1 2
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，
故k＝－1.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，
由题意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝
＝2，
解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去)．
由得x＝，
1
所以AP＝|x－2|＝，
1
同理得x＝，
2
所以AQ＝|x－2|＝.
2因为tan∠PAQ＝2，所以sin∠PAQ＝，
故S ＝AP·AQsin∠PAQ
△PAQ
＝×××＝.
思维升华 求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
跟踪训练1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右顶点分别为A，B，下焦
点为F，若S ＝.
△ABF
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线 AP的斜率为k，且与y轴交于点
M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的斜率为－k，求k值．
解 (1)由题可知，S ＝·2bc＝，
△ABF
即bc＝，又e＝，
∴⇒
∴椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)由题意知A(－1,0)，k ＝k，
AP
则直线l ：y＝k(x＋1)，∴M(0，k)，
AP
联立方程
⇒(k2＋4)x2＋2k2x＋k2－4＝0，
∴x ＋x ＝，x ·x ＝，
A P A P
∴x ＝，
P
∴y ＝k(x ＋1)＝，
P P
∴P，
∵MN⊥AP，
∴则直线l ：y＝－x＋k，
MN
令y＝0，解得x ＝k2，∴N(k2,0)，
N
∴k ＝＝－k，
PN
即k4＋5k2－24＝0，
解得k2＝3或k2＝－8(舍)，
∵P在第一象限，∴k＝.
题型二 证明问题
例2 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的
距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；[切入点：直接法求轨迹方程]
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.[关键点：对周长放缩]
[思路分析]
(1)设P(x，y)，直接法求轨迹方程
(2)设点A，B，C的坐标，利用AB⊥BC建立关系
(3)利用弦长公式表示出周长
(4)对周长进行放缩
(5)建立函数，利用导数求最值
(1)解 设P(x，y)，则
①处直接法求轨迹方程
两边同时平方化简得y＝x2＋，
故W：y＝x2＋.(2分)
(2)证明 设矩形的三个顶点A，
B，C在W上，且a0，且mn＝－1，则，(6分)
BC
②处得到m，n之间的关系
设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|，
k －k ＝c－a＝n－m＝n＋，
BC AB
则C＝
③处用弦长公式表示周长
(8分)
④处进行周长放缩
易知>0.
则
⑤处建立函数
f′(x)＝22，令f′(x)＝0，解得x＝，当x∈时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
则(10分)
⑥处利用导数求最值
故C≥＝，即C≥3.
当C＝3时，n＝，m＝－，
与当(b－a)＝(b－a)，
即m＝n时等号成立，矛盾，
⑦处排除边界值
故C>3，得证．(12分)
思维升华 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关
系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线
与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通
过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
跟踪训练2 (2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离
心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A ，A ，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在
1 2
第二象限，直线MA 与NA 交于点P.证明：点P在定直线上．
1 2
(1)解 设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由焦点坐标可知c＝2，则由e＝＝，
可得a＝2，b＝＝4，所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明 由(1)可得A(－2,0)，A(2,0)，
1 2
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
显然直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为x＝my－4，且－0，则y＋y＝，yy＝，直线MA 的方程为y＝(x＋2)，
1 2 1 2 1
直线NA 的方程为y＝(x－2)，
2
联立直线MA 与直线NA 的方程可得
1 2
＝＝＝
＝＝＝－，
由＝－可得x＝－1，即x ＝－1，
P
据此可得点P在定直线x＝－1上运动．
课时精练
1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)若a＝2，求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
解 (1)由题设，y＝2x＋1，联立直线与双曲线方程并整理得x2＋4x＋2＝0，
所以Δ＝16－4×2＝8>0，
则x ＋x ＝－4，x x ＝2，
A B A B
所以AB＝·＝×＝2.
(2)联立直线与双曲线方程得
3x2－(ax＋1)2＝1，
整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0，
由题意Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0，即－b>0)上．
(1)求椭圆T的方程；
(2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原
点)交椭圆于P，Q两点，证明：ME·MF＝MP·MQ.
(1)解 由于A，B两点关于原点对称，必在椭圆上，
则＋＝1，且＋<1，
∴C(0,1)必在椭圆上，即有＝1，则b＝1，a2＝2，
∴椭圆T的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设E(x，y)，F(x，y)，
1 1 2 2
联立得x2＋tx＋t2－1＝0，
Δ＝2t2－4(t2－1)＝4－2t2>0，
解得－0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为
y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ，y)，Q(x ，y)在C上，且
1 1 2 2
x>x>0，y>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取
1 2 1
两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③MA＝MB.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
(1)解 由题意得c＝2.①
因为双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x，所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明 由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
将直线PQ的方程代入C的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则x＋x＝，xx＝－>0，
1 2 1 2
所以3－k2<0，
所以x－x＝＝.
1 2
设点M的坐标为(x ，y )，
M M
则
两式相减，得y－y＝2x －(x＋x)，
1 2 M 1 2
又y－y＝(kx＋t)－(kx＋t)＝k(x－x)，
1 2 1 2 1 2
所以2x ＝k(x－x)＋(x＋x)，
M 1 2 1 2
解得x ＝；
M
两式相加，得2y －(y＋y)＝(x－x)，
M 1 2 1 2
又y＋y＝(kx＋t)＋(kx＋t)
1 2 1 2＝k(x＋x)＋2t，
1 2
所以2y ＝k(x＋x)＋(x－x)＋2t，
M 1 2 1 2
解得y ＝＝x .
M M
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－，
B B
所以x ＋x ＝，y ＋y ＝.
A B A B
点M的坐标满足
得x ＝＝，y ＝＝，
M M
故M为AB的中点，即MA＝MB.
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，
A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
因为M在AB上，且MA＝MB，
所以x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：
因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
设AB的中点为C(x ，y )，
C C
则x ＝＝，
C
y ＝＝.
C
因为MA＝MB，
所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线y－y ＝－(x－x )，
C C
即y－＝－上，
与y＝x联立，得x ＝＝x ，
M C
y ＝＝y ，
M C
即点M恰为AB的中点，故点M在AB上．
