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§8.11 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (2022·黄山质检)已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)，其短轴长为2，离心率为e ，双曲线
1 1
C ：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为y＝±x，离心率为e，且e·e＝1.
2 2 1 2
(1)求椭圆C 的方程；
1
(2)设椭圆C 的右焦点为F，动直线l(l不垂直于坐标轴)交椭圆C 于M，N不同的两点，设
1 1
直线FM和FN的斜率为k ，k ，若k ＝－k ，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，
1 2 1 2
求出该定点；若不是，请说明理由．
解 (1)由题意知，
椭圆C ：＋＝1(a>b>0)，
1
其短轴长为2，可得b＝，椭圆的离心率为e，
1
双曲线C ：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为y＝±x，
2
即＝，即＝3，
所以离心率为e＝＝＝2，
2
且e·e＝1.
1 2
所以e＝＝＝＝，
1
解得a＝2，
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
1
(2)假设该直线过定点(t,0)，
设直线l的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
联立
消去y，整理得
(3＋4k2)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
Δ>0⇒48(k2t2－3－4k2)<0，
k＋k＝＋
1 2
＝＋
＝k·
＝k·＝0，
所以2xx－(t＋1)(x＋x)＋2t＝0，
1 2 1 2
即2·－(t＋1)·＋2t＝＝0，
所以－24＋6t＝0，
解得t＝4，即直线过定点(4,0)．
教师备选
在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点N(4,4)作斜率为k ，k 的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且＋＝1.证明：
1 2
直线AB恒过定点．
(1)解 由题意可知＝y＋1，化简可得曲线C：x2＝4y.
(2)证明 由题意可知，N(4,4)是曲线C：x2＝4y上的点，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则l ：y＝k(x－4)＋4，l ：y＝k(x－4)＋4，
NA 1 NB 2
联立直线NA的方程与抛物线C的方程，
⇒x2－4kx＋16(k－1)＝0，
1 1
解得x＝4(k－1)，①
1 1
同理可得x＝4(k－1)，②
2 2
而l ：y－＝(x－x)，③
AB 1
又＋＝1，④
由①②③④整理可得l ：y＝(k＋k－2)x－4，
AB 1 2
故直线AB恒过定点(0，－4)．
思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y ＝k(x－x)，则直线必过定
0 0
点(x，y)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
0 0
跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.
(1)求椭圆方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝上，求
证：线段AB的中垂线恒过定点N.
(1)解 椭圆过点，即＋＝1，
又2c＝2，得a2＝b2＋3，
所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为＋y2＝1.(2)证明 由
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝－，
1 2
设AB的中点M为(x，y)，
0 0
得x＝－＝，
0
即1＋4k2＝－8km，
所以y＝kx＋m＝k－＝－.
0 0
所以AB的中垂线方程为y＋＝－，
即y＝－，
故AB的中垂线恒过点N.
题型二 定值问题
例2 (2022·济南模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上的动点M到直线x＝－1的距离比到抛
物线E的焦点F的距离大.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)设点Q是直线x＝－1(y≠0)上的任意一点，过点P(1,0)的直线l与抛物线E交于A，B两
点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为k ，k ，k ，证明：为定值．
AQ BQ PQ
(1)解 由题意可知抛物线E的准线方程为
x＝－，
所以－＝－，即p＝1，
故抛物线E的标准方程为y2＝2x.
(2)证明 设Q(－1，y)，A(x，y)，B(x，y)，
0 1 1 2 2
因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为x＝ty＋1.
联立消去x，得y2－2ty－2＝0.
Δ＝4t2＋8>0，
所以y＋y＝2t，yy＝－2，k ＝－.
1 2 1 2 PQ
又k ＋k ＝＋
AQ BQ
＝
＝
＝
＝
＝＝－y.
0
所以＝＝2(定值)．教师备选
(2022·邯郸模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的直线l交
1 2 1
椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|FF|＝2，△ABF 的周长为8.
1 2 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)MA＝λF1A，MB＝μF1B，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理
由．
解 (1)因为△ABF 的周长为8，
2
所以4a＝8，解得a＝2，
由|FF|＝2，得2＝2＝2，
1 2
所以b2＝3，
因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
由
整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
显然Δ>0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则
设M(0，k)，又F(－1,0)，
1
所以MA＝(x，y－k)，F1A＝(x＋1，y)，
1 1 1 1
则λ＝.
同理可得MB＝(x，y－k)，
2 2
F1B＝(x＋1，y)，
2 2
则μ＝.
所以λ＋μ＝＋
＝
＝
＝
＝
＝＝，
所以λ＋μ为定值.
思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可
得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条
件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形
即可求得．
跟踪训练2 (2022·湖北九师联盟开学考)在平面直角坐标系 Oxy中，已知椭圆C：＋＝
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，P是C上一点，且PF 与x轴垂直．
1 2 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点Q的直线l交C于A，B两点，证明：＋为定值．
(1)解 由题意得F(1,0)，F(－1,0)，
2 1
且c＝1，
则2a＝|PF|＋|PF|
1 2
＝＋＝2，
即a＝，所以b＝＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 当直线AB的斜率为零时．点A，B为椭圆长轴的端点，
则＋＝＋＝
＝＝3.
当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为x＝ty－，
点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立消去x，
得(t2＋2)y2－y－＝0，
则Δ＝t2＋(t2＋2)>0恒成立，
由根与系数的关系，得y＋y＝，
1 2
yy＝－.
1 2
所以＋
＝＋
＝
＝
＝
＝
＝×＝3.
综上，＋＝3为定值．课时精练
1．(2022·临沂模拟)已知P(1,2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：
直线AB过定点．
(1)解 将P点坐标代入抛物线方程y2＝2px，得4＝2p，即p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明 设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0，
Δ>0⇒16m2＋16t>0⇒m2＋t>0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝4m，yy＝－4t，
1 2 1 2
k ＝＝＝，
PA
同理k ＝，
PB
由题意知＋＝2，
即4(y＋y＋4)＝2(yy＋2y＋2y＋4)，
1 2 1 2 1 2
解得yy＝4，故－4t＝4，即t＝－1，
1 2
故直线AB：x＝my－1恒过定点(－1,0)．
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为5.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使得P到
直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题设可知
解得a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
①若直线MN与x轴垂直，
由对称性可知|x|＝|y|，
1 1
将点M(x，y)代入椭圆方程，
1 1
解得|x|＝，
1
原点到该直线的距离d＝；
②若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，由
消去y得(9k2＋5)x2＋18kmx＋9m2－45＝0，
由根与系数的关系得
由题意知，OM·ON＝0，
即xx＋(kx＋m)(kx＋m)＝0，
1 2 1 2
得(k2＋1)＋km＋m2＝0，
整理得45k2＋45＝14m2，
则原点到该直线的距离
d＝＝＝，
故存在定点P(0,0)，使得P到直线MN的距离为定值．
3．(2022·湖南天壹名校联盟模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原
点，直线AB的斜率为－，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上有两点M，N(异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直)，证明：当△OMN的面积最大
时，直线OM与ON的斜率之积为定值．
(1)解 椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)，
由题知⇒
解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明 由已知MN与x轴不垂直，可知直线MN的斜率存在，
设直线MN的方程为y＝kx＋t，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
联立
整理得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4t2－4＝0，
其中Δ＝(8kt)2－4(4k2＋1)(4t2－4)
＝16(4k2－t2＋1)>0，
即4k2＋1>t2，
且x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝
＝.
又原点O到直线MN的距离d＝，
所以S ＝·|MN|·d
△OMN＝··
＝
≤＝1，
当且仅当t2＝4k2－t2＋1，即2t2＝4k2＋1时，等号成立，
所以k ·k ＝＝
OM ON
＝
＝k2＋＝k2＋
＝.
由2t2＝4k2＋1，可得k ·k ＝－，
OM ON
所以当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．
4．(2022·南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，焦距为2，长轴
1 2
长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F 不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一个
1
点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不
存在，请说明理由．
解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，
即2c＝2,2a＝4，
解得c＝1，a＝2，
所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F(－1,0)，
1
设点E(x，y)，D(x，y)，M(m,0)，
1 1 2 2
因为直线l不与x轴重合，
所以设直线l的方程为x＝ny－1，
联立
得(3n2＋4)y2－6ny－9＝0，
所以Δ＝(－6n)2＋36(3n2＋4)>0，
所以y＋y＝，yy＝－，
1 2 1 2
又xx＝(ny－1)(ny－1)
1 2 1 2
＝n2yy－n(y＋y)＋1
1 2 1 2
＝－－＋1＝－，x＋x＝n(y＋y)－2＝－2
1 2 1 2
＝－.
直线ME，MD的斜率分别为k ＝，
ME
k ＝，
MD
所以k ·k ＝·
ME MD
＝
＝
＝
＝
＝－，
要使直线ME，MD的斜率之积恒为定值，
3m2－12＝0，
解得m＝±2，
当m＝2时，存在点M(2,0)，使得
k ·k ＝－
ME MD
＝－＝－，
当m＝－2时，存在点M(－2,0)，使得
k ·k ＝－＝－，
ME MD
综上，在x轴上存在点M，使得ME，MD的斜率之积恒为定值，
当点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－，
当点M的坐标为(－2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－.
