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第8讲 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 考向预测
圆锥曲线中的综合问题是高考命题的热
1.掌握解决直线与椭圆、
点，高考主要考查圆锥曲线中的证明、定
抛物线的位置关系的思 命题趋
点、定值、最值、范围等问题，这类问题
想方法. 势
考查范围广泛，命题形式新颖．一般试题
2.了解圆锥曲线的简单应
难度较大，题型以解答题为主.
用.
核心素
3.理解数形结合的思想. 数学运算、逻辑推理
养
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C 与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的
1
方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C 的交点
1
无解(含l是双曲线的渐
b＝0 无公共点
近线)
a＝0 有一解(含l与抛物线的
b≠0 对称轴平行(重合)或与 一个交点
双曲线的渐近线平行)
Δ＞0 两个不相等的解 两个交点
a≠0 Δ＝0 两个相等的解 一个交点
Δ＜0 无实数解 无交点
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判
定直线与圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则|AB|＝|x －x |
1 2
＝
＝ |y －y |
1 2
＝ .常用结论
圆锥曲线以P(x ，y )(y ≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：
0 0 0
圆锥曲线方程 直线斜率
椭圆：＋＝1(a>b>0) k＝－
双曲线：－＝1(a>0，b>0) k＝
抛物线：y2＝2px(p>0) k＝
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．( )
(2)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( )
(3)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( )
(4)过点(2，4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(
)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C.结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点
(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
3．(易错题)直线l：y＝x＋3与双曲线－＝1交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由于直线l：y＝x＋3过(0，3)，双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率
>1，故直线l仅与双曲线－＝1的上支有两个交点，如图所示．故选C.
4．过点A(1，0)作倾斜角为的直线，与抛物线y2＝2x交于M，N两点，则|MN|＝
________．
解析：由题意可知直线方程为y＝x－1，联立整理得x2－4x＋1＝0.设M(x ，
1
y )，N(x ，y )，则x x ＝1，x ＋x ＝4，所以|MN|＝·|x －x |＝·＝2.
1 2 2 1 2 1 2 1 2答案：2
5．已知椭圆C：＋＝1与动直线l：y＝x＋m相交于A，B两点，则实数m的取
值范围为________．
解析：由得18x2＋12mx＋4m2－36＝0，Δ＝144m2－4×18(4m2－36)>0，所以－
3b>0)的离心率为，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为
坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
【解】 (1)由题意可得
解得
所以b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝－x＋m，P(x ，y )，Q(x ，y )．
1 1 2 2
由消去y得x2－2mx＋2(m2－1)＝0.
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，
且x ＋x ＝2m，x x ＝2(m2－1)，
1 2 1 2
所以y y ＝
1 2
＝x x －m(x ＋x )＋m2
1 2 1 2
＝，
所以k k ＝＝＝＝k，
OP OQ
即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
对于证明问题，一般是根据已知条件，运用所涉及的知识通过运算化简，利用
定义、定理、公理等，直接推导出所证明的结论即可，证明不等式常用不等式的性质，或基本不等式求得最值．
技法二 转化法
已知B是抛物线y＝x2＋1上任意一点，A(0，－1)，且P为线段AB的中
点．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若F为点A关于原点O的对称点，过F的直线交曲线C于M，N两点，直
线OM交直线y＝－1于点H，求证：|NF|＝|NH|.
【解】 (1)设P(x，y)，B(x ，y )，因为P为AB的中点，所以
0 0
因为B为曲线y＝x2＋1上任意一点，
所以y ＝x＋1，代入得x2＝4y，
0
所以点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)证明：依题意得F(0，1)，直线MN的斜率存在，其方程可设为y＝kx＋1.
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
联立得x2－4kx－4＝0，
则Δ＝16k2＋16>0，所以x x ＝－4.
1 2
因为直线OM的方程为y＝x，H是直线OM与直线y＝－1的交点，
所以H.
根据抛物线的定义|NF|等于点N到准线y＝－1的距离．
因为点H在准线y＝－1上，所以要证明|NF|＝|NH|，只需证明HN垂直准线y
＝－1，即证HN∥y轴．
因为H的横坐标－＝－＝＝＝x ，
2
所以HN∥y轴成立，所以|NF|＝|NH|成立．
圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方
法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情
况，将证明的问题转化为另一问题．本题证明的关键是能够利用抛物线的定义将
所证结论转化为证明 HN∥y轴．通过直线与抛物线联立得到根与系数的关系的
形式，利用根与系数的关系的结论证得HN∥y轴．
(2020·北京市适应性测试)已知椭圆C的短轴的两个端点分别
为A(0，1)，B(0，－1)，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线y＝m与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－，证明：点D在x轴上．
解：(1)由题意，得
所以a2＝b2＋c2＝4，即a＝2.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x ，m)，则N(－x ，m)，x ≠0，－10，b>0)的左、右焦点分别为
F ，F ，|F F |＝2c，过F 作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐
1 2 1 2 2
标为，且满足|F Q|>|F A|，若双曲线C的右支上存在点P使得|PF |＋|PQ|<|F F |成
2 2 1 1 2
立，求双曲线C的离心率的取值范围．
【解】 将x＝c代入双曲线的方程可得y＝±b＝±，
由|F Q|>|F A|，可得>，则3a2>2b2＝2(c2－a2)，
2 2
所以离心率e＝<. ①
又存在点P，使得|PF |＋|PQ|<|F F |成立，所以由双曲线的定义可得存在点P，
1 1 2
使得2a＋|PF |＋|PQ|2a＋a，
所以e＝>. ②
由e>1及①②可得，e的取值范围是.
指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的方
法．解决问题的关键如下：
(1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系
或根据题意建立不等关系．一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之
和大于第三边、直角三角形斜边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的斜
率、圆锥曲线中线段长的范围等．
(2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子的范围．
技法三 目标函数法
(2020·河北九校第二次联考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，短轴长为
2，右顶点为A，上顶点为B，△ABF的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过A作直线l与椭圆交于另一点 M，连接MF并延长交椭圆于点 N，当
△AMN的面积最大时，求直线l的方程．
【解】 (1)根据短轴长知b＝，S ＝(a＋c)·＝，
△ABF
则a＋c＝3，因为b2＝a2－c2，所以a－c＝1，
故a＝2，c＝1，则椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，M(x ，y )，N(x ，
1 1 2
y )，
2
则S ＝|AF|·|y －y |
△AMN 1 2
＝， ①
⇒(3＋4k2)y2－6ky－9k2＝0，
y ＋y ＝，y ·y ＝－.
1 2 1 2
代入①式得S ＝＝18，
△AMN
令t＝3＋4k2，则t>3，k2＝，
S ＝18＝ <.
△AMN
当直线MN的斜率不存在时，S ＝.
△AMN
故当△AMN的面积最大时，MN垂直于x轴，此时直线l的斜率为±，
则直线l的方程为y＝±(x－2)．
圆锥曲线的最值与范围问题中，若目标表达式与已知条件具有比较明确的关
系，则可以考虑建立目标函数，通过研究函数的单调性、图象或基本不等式等来
解决，破解此类问题的关键如下：
(1)定变量，根据题目定变量以及变量的取值范围．
(2)定目标函数，根据题目信息确定目标函数(一般以所求式子为函数解析式)．
(3)求最值或范围，根据目标函数解析式，借助配方、基本不等式、三角函数的
有界性、函数的单调性(可借助导数研究)等确定目标函数的最值或取值范围．
1．(多选)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，圆心M(0，
1)，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于
点N，则△PMN的周长的可能取值是( )
A．8 B．8.5 C．9 D．10
解析：选BC.如图，可得圆心M(0，1)也是抛物线的焦点，
过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，
可得|MN|＝|NH|，故△PMN的周长l＝|NH|＋|NP|＋|MP|＝|PH|＋4，
由得B(2，3)．
|PH|的取值范围为(4，6)，
所以△PMN的周长|PH|＋4的取值范围为(8，10)，
故B，C满足条件．
2．(2020·成都市诊断性检测)已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直
线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H.求四
边形OAHB(O为坐标原点)面积的取值范围．
解：由题意得，F(1，0)，设直线AB：x＝my＋1(m∈R)，A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
由消去x，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
则Δ＝4m2＋4(m2＋2)>0，y ＋y ＝－，y y ＝－，
1 2 1 2
所以|y －y |＝＝＝.
1 2
所以四边形OAHB的面积S＝|OH|·|y －y |＝|y －y |＝.
1 2 1 2
令＝t，则t≥1，S＝＝.
因为t＋≥2(当且仅当t＝1，即m＝0时取等号)，所以0b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个
点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若x ，则下列结论正
1 1 2 2 1 2
确的是( )
A．－10，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距
的最小值为________．
解析：由题意，知双曲线C的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a
与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S ＝
△ODE
×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时，
等号成立，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8.
答案：8
4．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线上的两个动点，若
1 1 2 2
x ＋x ＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为________．
1 2
解析：由抛物线的焦半径公式可得|AF|＝x ＋2，|BF|＝x ＋2.
1 2
又x ＋x ＋4＝|AB|，
1 2
即|AB|＝(|AF|＋|BF|)，
所以cos ∠AFB＝
＝
＝
＝×－≥×2－＝－，当且仅当＝即|AF|＝|BF|时，等号成立．又0＜∠AFB＜
π，所以∠AFB的最大值为.
答案：
5．已知抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2.
(1)若l与C相切，求直线l的方程；
(2)若l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交C于P，Q两点，求的取
值范围．
解：(1)设直线l的方程为y＝2x＋b，联立直线l与抛物线C的方程，得得x2－2x－b＝0，
Δ＝4＋4b＝0，所以b＝－1，
因此，直线l的方程为y＝2x－1.
(2)设点A(x ，y )，B(x ，y )，P(x ，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2 3 3 4 4
联立直线l与抛物线C的方程，得
得x2－2x－b＝0，Δ＝4＋4b>0，所以b>－1.
由根与系数的关系得x ＋x ＝2，x x ＝－b.
1 2 1 2
所以|AB|＝|x －x |＝2.
1 2
易知线段AB的中点坐标为(1，2＋b)，
所以，直线PQ的方程为y＝－x＋＋b.
由得2x2＋x－5－2b＝0，
则x ＋x ＝－，x x ＝－－b，
3 4 3 4
所以，|PQ|＝|x －x |＝，
3 4
所以，＝ ＝ >，
所以，的取值范围是.
6．(2020·重庆南开中学质检)已知A(0，)，B(，1)是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的
两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3，0)，线段PM的垂直平分
线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．
解：(1)由题意知代入A，B两点坐标得＝1，
＋＝1.
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设线段PM的中点为N，根据题意知直线PM，QN的斜率存在且不为0.
设点M坐标为(x ，y )，
0 0
则＋＝1，即x＝6－3y.①
线段PM的中点N，k ·k ＝－1，
PM QN
即k ＝，
QN
所以直线l ：y－＝.
QN
令x＝0，并结合①式得y ＝＋＝＋＝，
Q
|OQ|＝|y |＝
Q＝＋|y |≥2＝，
0
当且仅当＝|y |，
0
即y ＝±时取等号，
0
所以|OQ|的最小值为.
[B级 综合练]
7．(2020·福州市质量检测)已知圆O：x2＋y2＝，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长
等于圆O半径的倍，C的离心率为.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：△AOB为直角三角形．
解：(1)因为圆O的半径为，
所以C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为×＝2，
所以2b＝2，解得b＝.
因为C的离心率为，所以＝， ①
又a2－c2＝b2，所以a2－c2＝2， ②
联立①②，解得a2＝4，
所以C的方程为＋＝1.
(2)方法一：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝或x＝－.
当直线l的方程为x＝时，不妨设A，B，
则OA·OB＝－＝0.
当直线l的方程为x＝－时，不妨设
A，B，
则OA·OB＝－＝0，
综上，OA⊥OB.
所以△AOB为直角三角形．
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
因为直线l与圆O相切，所以＝，
即3m2－4k2－4＝0，
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
所以Δ＝16k2m2－8(1＋2k2)(m2－2)＝8(4k2－m2＋2)＝(4k2＋1)>0，
且x ＋x ＝－，x x ＝.
1 2 1 2
所以OA·OB＝x x ＋y y
1 2 1 2
＝x x ＋(kx ＋m)(kx ＋m)
1 2 1 2＝(1＋k2)x x ＋km(x ＋x )＋m2
1 2 1 2
＝
＝＝0，
所以OA⊥OB.
综上所述，OA⊥OB.所以△AOB为直角三角形．
方法二：①当直线l的方程为y＝时，
不妨设A，B，则OA·OB＝
－＋＝0，
所以OA⊥OB.所以△AOB为直角三角形．
②当直线l的方程为y＝－时，不妨设A，B，所以OA·OB＝－＋＝0，
所以OA⊥OB，所以△AOB为直角三角形．
③当直线l不与x轴平行时，设其方程为x＝ty＋m，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
因为直线l与圆O相切，所以＝，即3m2－4t2－4＝0.
由得(t2＋2)y2＋2tmy＋m2－4＝0.
所以Δ＝4t2m2－4(t2＋2)(m2－4)＝8(2t2－m2＋4)＝
(t2＋4)>0，
且y ＋y ＝－，y y ＝.
1 2 1 2
OA·OB＝y y ＋x x
1 2 1 2
＝y y ＋(ty ＋m)(ty ＋m)
1 2 1 2
＝(1＋t2)y y ＋tm(y ＋y )＋m2
1 2 1 2
＝
＝＝0，
所以OA⊥OB，所以△AOB为直角三角形．
综上所述，△AOB为直角三角形．
8．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标
分别为F (－1，0)，F (1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF |＝5|PF |且cos∠F PF
1 2 1 2 1 2
＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，
点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．
解：(1)由题意设|PF |＝r ，|PF |＝r ，则3r ＝5r ，又r ＋r ＝2a，所以r ＝a，r
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
＝a.在△PF F 中，由余弦定理得，cos∠F PF ＝＝＝，
1 2 1 2
解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程，得消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x ，y )，B(x ，
1 1 2
y )，则x ＋x ＝，x x ＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①
2 1 2 1 2
设AB的中点为M(x ，y )，连接QM，则x ＝＝，y ＝kx ＋m＝，因为|AQ|＝|
0 0 0 0 0
BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所
以k·k ＝k·＝－1，解得m＝－，②
QM
把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解
得k＞或k＜－，故k的取值范围为∪.
