文档内容
北京四中 2020-2021 学年度第一学期开学测试 初三年级（数学学科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1. 下列各式中，化简后能与 合并 的是( )
A. B. C. D.
2. 一元二次方程 配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
4. 方程 的解是（ ）
A. x =1 B. x = 2 C. x = 0，x = 1 D. x = 0，x = 2
1 2 1 2
5. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )
第1页/共10页
学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
6. 正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
7. 一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
8. 如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在边 上，点 的对应点
为 ，连接 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中一定
正确的是（ ）
A. ③ B. ②③ C. ③④ D. ②③④
9. 将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白
部分的面积之和为S，阴影部分的面积之和为S．若S＝ S，则a，b满足（ ）
1 2 1 2
A. 2a＝5b B. 2a＝3b C. a＝3b D. a＝2b
第2页/共10页
学科网（北京）股份有限公司10. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可
回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量 合
（千吨） 计
频数 1 2 3
频率 0.05 0.10 0.15 1
表中 组的频率 满足 ．
下面有四个推断：
①表中 的值为20；
②表中 的值可以为7；
③这 天的日均可回收物回收量的中位数在 组；
④这 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
11. 函数y= 中，自变量x的取值范围是____________．
12. 如图，正方形 的边长为 ，点 为对角线 上任意一点， ， ，垂足分
别是 ， ，则 __________．
13. 如图，菱形 中， ， ， 交于点 ，若 是 边的中点， ，则
的长等于__________， 的度数为__________．
第3页/共10页
学科网（北京）股份有限公司14. 若关于 的一元二次方程 有个根为 ，则 的值为__________．
15. 如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为 ，正方形 ， ， 的顶点
都在格点上，则正方形 的面积为__________．
16. 图 中菱形的两条对角线长分别为 和 ，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地
拼成如图 所示的图形，则图 中菱形的面积等于__________；图 中间的小四边形的面积等于
__________．
17. 在矩形ABCD中，AD＞AB，对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是边AD，BC的中点，过点O的
动直线与AB，CD边分别交于点M，N．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形四个图形中，四边
第4页/共10页
学科网（北京）股份有限公司形EMFN可能是_____（只填序号）．
18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满
足条件__________时，四边形AEDF是菱形．（填写一个你认为恰当的条件即可）
19. 如图所示，平行四边形 中，点 在边 上，以 为折痕，将 向上翻折，点 正好落
的
在 上 处，若 的周长为8， 的周长为22，则 的长为__________．
20. 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有 名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀
率为 ，女生成绩的优秀率为 ：八年级男生成绩的优秀率为 ，女生成绩的优秀率为 对
于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数：
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率
所有合理推断的个数是__________个
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
21. 计算：
（1）
（2）
第5页/共10页
学科网（北京）股份有限公司22. 解方程：
在
23. 如图，将一张矩形纸片 沿对角线 折叠，使点 落 点 处， 与 交于点 ．
（1）求证：
（2）若将折叠的图形恢复原状，点 与 边上的点 正好重合，连接 ，试判断四边形 的
形状， 并说明理由
24. 先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发
展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图(数据分成6组：
）：
b．先进制造业城市发展指数得分在 这一组的是：71.1 75.7 79.9
c．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：
第6页/共10页
学科网（北京）股份有限公司d．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第 ；
（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数
几个城市所对应的点位于虚线 的上方．请在图中用“○”圈出代表北京的点；
（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为
_______亿件．（结果保留整数）
25. 综合与实践
问题情境：
如图①，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到
（点 的对应点为点 ），延长 交 于点 ，连接 ．
猜想证明：
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
解决问题：
第7页/共10页
学科网（北京）股份有限公司（3）如图①，若 ， ，请直接写出 的长．
26. 如图，正方形 的两条对角线把正方形 分割成四个全等的等腰直角三角形，将他们分别
沿正方形 的边翻折，可得到一个面积是原正方形 面积 倍的新正方形，请你在图 ，图 ，
图 中完成，将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积 倍的三
个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形（非矩形、非菱形）
27. 如图， 在 中， ， 为 上一点且 ， 于点 ，点 关于点
的对称点为点 ， 交 于点 ．
（1）依题意补全图形
（2）求 的度数
第8页/共10页
学科网（北京）股份有限公司（3）写出 、 、 之间的等量关系，并证明
28. 在 中，点 在 边上（不与点 重合）， ，垂足为点 ，如果以 为对角线的
正方形上的所有点都在 的内部或边上，则称该正方形为 的内正方形．
的
（1）如图，在 中， ， ，点 是 中点，画出 的内正方形，直接写出
此时内正方形的面积；
（2）在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．
①若 ，求 的内正方形的顶点 的横坐标的取值范围；
的
②若对于任意 点 ， 的内正方形总是存在，直接写出 的取值范围．
第9页/共10页
学科网（北京）股份有限公司第10页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
