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§4.5 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助
图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．
知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，， (π ， 0) ，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，， (π ，－ 1) ，，(2π，
1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R { x | x ≠ kπ＋}
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
单调递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π]
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x ＝ k π
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是个周期．
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(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内单调递减．( × )
(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( √ )
(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( × )
(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( × )
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案 A
2．函数y＝－tan的单调递减区间为________．
答案 (k∈Z)
解析 由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，
得＋0)的周期为，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若0)，且在上单调递增，则满足条件的ω
的最大值为________．
答案
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)．
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由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
由题知，⊆，
∴
∴6k－≤ω≤4k＋，k∈Z.∵ω>0，∴当k＝0时，－≤ω≤，
∴0<ω≤；
当k＝1时，≤ω≤；
当k≥2，k∈Z时，ω∈ ∅，
∴ω ＝.
max
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性
弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
答案 C
解析 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确；
对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确；
对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确；
对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确．故
选C.
(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵x∈，∴ω－≤ωx－≤ω－，
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由于函数f(x)在上单调递增，
∴(k∈Z)，
解得(k∈Z)，
故k只能取0，即0<ω≤1，
∴“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的充分不必要条件．
课时精练
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)．
2．(2023·赣州模拟)已知f(x)＝sin2－，则f(x)是( )
A．奇函数且最小正周期为π
B．偶函数且最小正周期为π
C．奇函数且最小正周期为2π
D．偶函数且最小正周期为2π
答案 A
解析 f(x)＝sin2－＝－＝sin 2x，故f(x)为奇函数，且最小正周期为T＝＝π.
3．若函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 因为函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，
所以＝，所以T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝1.
4．(2023·广州模拟)如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 根据题意，sin＝0，
即－＋φ＝kπ，k∈Z，
解得φ＝kπ＋，k∈Z，
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当k＝－1时，|φ|取得最小值.
5．(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)的最小正周期为π
答案 AB
解析 f(x)＝sin x－cos x＝sin，
对于A，f(x) ＝，A正确；
max
对于B，当x∈时，x－∈，
由正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确；
对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误；
对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误．
6．(多选)(2023·汕头模拟)对于函数f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)的图象不关于直线x＝对称
D．π是f(x)的一个周期
答案 ACD
解析 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos 2(x＋π)＝|sin x|＋cos 2x＝f(x)，
所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；
对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0，
所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x，
令t＝sin x，g(t)＝－2t2＋t＋1＝－22＋，t∈[0,1]，可知其值域为，故A正确；
对于B，由A可知，g(t)在上单调递增，在上单调递减，
因为t＝sin x，t∈[0,1]，
所以f(x)在上不单调，故B不正确；
对于C，因为f(0)＝1，f ＝0，
所以f(0)≠f ，
所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C正确．
7．(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝________.
答案 tan x(答案不唯一)
解析 根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上
单调递增，构造即可，
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如f(x)＝tan x满足题意．
8．(2023·吉林模拟)已知函数f(x)＝sin(0≤φ≤π)在上单调递减，则φ的取值范围是________．
答案 ≤φ≤π
解析 当x∈时，x＋φ∈，
又函数f(x)＝sin(0≤φ≤π)在上单调递减，
所以x＋φ∈⊆，
所以解得≤φ≤π.
9．已知函数f(x)＝cos xsin x＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝cos xsin x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
∴函数f(x)的最小正周期为＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
则sin∈[－1,1]，∴f(x)∈，
∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
10．(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件
中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f ，求g(x)在区间上的最大值．
条件①：f(x)的最小正周期为π；
条件②：f(x)为奇函数；
条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选择条件①②：
由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.
由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin 2x.经检验φ＝0符合题意．
选择条件①③：
由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.
由条件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin 2x.
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(2)由题意得g(x)＝sin 2x＋sin，
化简得g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，
即x＝时，g(x)取最大值.
11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能( )
A．单调递增 B．单调递减
C．有最大值 D．有最小值
答案 B
解析 当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，
因为－<φ<，所以－<ωx＋φ<＋ω，
令ωx＋φ＝t，所以y＝sin t，
当－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z时，y＝sin t单调递增，
故f(x)在(0,1)上不可能单调递减．
12．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则
( )
A．f(x)在区间上单调递减
B．f(x)在区间上有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
答案 AD
解析 因为函数 f(x)的图象关于点中心对称，所以 sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合
0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin.
对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确；
对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确；
对于C，因为f ＝sin＝sin 3π＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确；
对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，
则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．
当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，
则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；
当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，
方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．
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综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．
13．(2023·福州模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数
f(x)在上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________.
答案 2sin(答案不唯一)
解析 对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称；
对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；
设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，则T＝4×＝4，ω＝，
又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)在上单调递减，
则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.
所以可令f(x)＝2sin，答案不唯一．
14．(2023·唐山模拟)已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________．
答案
解析 ∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝－cos y∈[－1,1]，
∴cos y∈，
即cos y∈，
∵sin x－sin2y＝－cos y－(1－cos2y)
＝cos2y－cos y－
＝2－1，
又cos y∈，
利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，
(sin x－sin2y) ＝2－1＝.
max
15．已知函数f(x)＝＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为( )
A．2 B．4 C．2π D．4π
答案 B
解析 令f(x)＝＋3sin πx＝0，
则＝－3sin πx，
所以f(x)的零点就是函数y＝与函数y＝－3sin πx图象交点的横坐标，
因为y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝－3sin πx的周期为2，其图象关于点(1,0)对称，两
函数图象如图所示，
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共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，
所以其横坐标的和为4，
所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.
16．(2023·沈阳模拟)已知函数 f(x)＝sin x＋|cos x|，写出函数 f(x)的一个单调递增区间
________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________．
答案
解析 当x∈，k∈Z时，
f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
当x∈，k∈Z时，
f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
令－≤x＋≤，则－≤x≤，
所以函数f(x)的一个单调递增区间为.
f(x)＝
则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，
则当x∈时，f(x)∈[1,2]，且f(0)＝，f ＝1，
令－≤x－≤，则－≤x≤，
所以函数f(x)在上单调递增，此时f(x)∈[1,2]．
令≤x－≤，则≤x≤，
所以函数f(x)在上单调递减，
当x∈时，令f(x)＝1，则x＝，
因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，
所以≤a≤.
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