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专题17 最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型（原卷版）
模型一 垂线段最短模型
典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上
的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
针对练习
1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，
F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．3❑√2 C．3❑√3 D．3
2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD
＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．❑√5
3．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB
上，则BE+EF的最小值是（ ）A．4 B．4.8 C．5 D．5.4
4．（2023春•鄄城县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线
BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝ ．
5．（2022秋•东港区校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，
点D为AB边上的动点，若AB＝6cm，则PB+PD的最小值为 cm．
模型二 将军饮马模型
类型一 一直线同侧两定点
典例2 （2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝
5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．7 B．3.5 C．5 D．2.5
类型二 两射线一顶点两动点
典例3（2021秋•颍东区期末）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是
射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
2 4
A．3 B． C． D．6
3 3针对练习
1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上
任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
2．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上
分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上
的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
模型三 造桥选址模型
类型一 异侧两定点一定长
典例1（2021春•奉化区期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连
接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（
）A． B．
C． D．
类型二 同侧两定点一定长
典例2（2019•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、
Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
针对练习
1．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN
（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•浠水县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上
的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（ ）时，四边形APQE的周长最小．A．3 B．4 C．5 D．2❑√2
3．（2022秋•离石区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座
桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平
行的直线，经测量，张庄 A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝
（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最
短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
4．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽不变，从A处到达B处，须经两座桥，如何恰当地架桥才能
使从A地到B地的路程最短？
