文档内容
专题 25 锐角三角函数（3 个知识点 9 种题型 4 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.锐角三角函数的概念（重点）
知识点2.30°，45°，60°角的三角函数值
知识点3.用计算器求锐角三角函数或锐角
【方法二】 实例探索法
题型1.利用三角函数的概念求锐角三角函数值
题型2.运用“参数法”求锐角三角函数值
题型3.网格中的三角函数值的求法
题型4.构造直角三角形求锐角三角函数值
题型5.利用等角转换求锐角三角函数值
题型6.由锐角三角函数值求其他锐角的三角函数值
题型7.根据锐角三角函数值求边长
题型8.特殊角的三角函数值的相关计算
题型9.锐角三角函数与平面直角坐标系的综合运用
【方法三】 仿真实战法
考点1.求锐角三角函数值
考点2.计算器的使用方法
考点3.利用网格求锐角三角函数值
考点4.特殊角的三角函数值与实数的运算
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正弦,余弦、正切的意义。
2.能够用 sinA, cos A,tan A 表示直角三角形两边的比;能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。3. 掌握特殊角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数的算式，能根据特殊角的三角函数值得出对应
锐角的度数。
4. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值或根据已知的三角函数值求锐角，体会锐角和锐角三角函数
值之间的一一对应关系。
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.锐角三角函数的概念（重点）
锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，
其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【例1】（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，在 中，
，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据正弦的定义解答即可．掌握锐角 的对边a与斜边c
的比叫做 的正弦成为解题的关键．
【详解】解：在 中， ，
故选：A．
知识点2.30°，45°，60°角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【例2】（安徽省亳州市2023-2024学年九年级第三次月考数学试题）观察下列各式：① ；
② （ 是锐角）；③ ，其中成立的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，根据锐角三角函数的增减性、特殊角
的三角函数值逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知 ，故①正确，符合题意；
是锐角，
，故②正确，符合题意；
，故③错误，不符合题意；综上所述，成立的有①②，共2个，
故选：C．
【变式1】（湖南省初中五市十校2023-2024学年九年级月考数学试题）计算：
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的
加减计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式等等，熟知相关
计算法则是解题的关键．
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）先化简，再求代数式 的值，其中
．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，对括号内的式子进行正确通分化简，再对式子因式分解化简，
最后代入 的值计算即可．
【详解】解：原式
当 时，
原式．
知识点3.用计算器求锐角三角函数或锐角
第一步：按计算器键 ；第二步：输入角度
【例3】（2023·山东潍坊·九年级统考期中）如图， ，用科学计算器求∠A的度数，下列按键顺序
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用计算器由三角函数值求角度，根据计算器的使用方法进行分析即可．
【详解】解： ，
，
依次按键 ， ，然后输入函数值0.2， ，即可求出 的度数．
故选：B．
【变式1】（2023下·云南德宏·九年级统考期中）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：
，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．1～2 B．2～3 C．3～4 D．4～5
【答案】A
【分析】用计算器计算得 得出答案．
【详解】解：使用计算器计算得，
，
∴显示的结果在1～2之间．
故选：A．
【点睛】本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．【变式2】（2023·山东·统考中考真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 ，高为7米．用计算
器求 的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦的定义得出 ，进而可得答案．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
∴按键顺序为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键．
【变式3】（2023下·山东烟台·九年级统考期中）运用计算器进行计算，按键顺序如下
，则计算器显示的结
果是 ．
【答案】
【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值．
【详解】根据题意得式子为
化简得
故答案为 ．
【点睛】本题考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子．
【方法二】 实例探索法
题型1.利用三角函数的概念求锐角三角函数值1．（2022下·湖北武汉·九年级校考开学考试）在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三
角函数值（ ）
A．都扩大 1 倍 B．都没有变化
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定
【答案】B
【分析】在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值；根据锐角三角函数值的概念进行分析即可得到
答案．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，知：
如果各边都扩大 1 倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，则其锐角的三角函数值不变．
故选：B．
【点睛】此题考查的是锐角三角函数的概念，掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关是解决
此题关键．
题型2.运用“参数法”求锐角三角函数值
2．（安徽省亳州市2023-2024学年九年级第三次月考数学试题）在 中， ， ，
，则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ．
故选：B．
题型3.网格中的三角函数值的求法
3．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点 都在
格点上，则 的正弦值是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角函数的综合应用．利用勾股定理求出 的长，再由
，得出 ， 可得答案．
【详解】解：如图，过点O作 于点E，过点B作 于点C．
由勾股定理，得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
题型4.构造直角三角形求锐角三角函数值
4．（2023·山东聊城·九年级校联考期中）在 中， ， ， ，那么 的正弦值是
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正弦的定义；根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，在 中， ， ， ，
∴ ,
故选：D．
5．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个角的正切值，过点A作 交 延长线于D，根据正切的定义只需
要求出 的值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作 交 延长线于D，
由网格的特点可知 ，
∴在 中， ，即 ，
故选：D．题型5.利用等角转换求锐角三角函数值
6．（2023·北京西城·九年级校考期中）如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交 于点
D，交 于点E，过点D作 交 的延长线于点F．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，圆的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握切线的判定，特殊角的三角函
数值是解题的关键．
(1)连接 ，证明 即可．
(2)在 中，根据 ，得到 ， ，利用平行线性质得到
，在 ，利用三角函数计算即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 平分 交 于点D， 为 直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 是 的切线．
（2）解：如上图，在 中，
∵ ， ， 为 直径， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型6.由锐角三角函数值求其他锐角的三角函数值
7．（2021·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知 ，则锐角 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值求出 ，根据当 是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即
可求解，
【详解】解∶ ∵ 为锐角，且 ，
又∵当 是锐角时，其余弦随角度的增大而减小，
∴ ，
故选∶C．
【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正
切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小．
题型7.根据锐角三角函数值求边长
8．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，求
的值．
【答案】 ．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．根据锐角三角函数的定义求出 ，根据勾股定理
求出 即可．
【详解】解：∵ ，tanA= = ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
题型8.特殊角的三角函数值的相关计算9．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）若锐角 满足 ，求 ＝ 度
【答案】 或
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，因式分解法解一元二次方程，先根据因式分解法求出 ，
进而得出答案．
【详解】 ，
因式分解，得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
故答案为：45或60．
题型9.锐角三角函数与平面直角坐标系的综合运用
10．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知抛物线C： 与直线l： 交干A、B
两点，P为抛物线第一象限上一动点，
(1)如图l，若 ，
①求A，B两点的坐标；
若 ，求P点横坐标；
(2)在（1）的条件下，如图2，在第一象限是否存在这样的P，延长 交 轴于M，N两点，使
？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)① ；P点的横坐标为 ；(2)存在，
【分析】（1）①根据题意联立方程组求解即可确定点的坐标；
②过点B作 交 于点Q，过点B作 轴，过点A作 于点E，过点Q作 交
于点F，根据相似三角形的判定和性质得出 ，设 ，得出
，代入求解得出 ，设直线 的解析式为 ，联立方程
组求解即可；
（2）设 ，设直线 的解析式为 ，设直线 的解析式为 ，根据待定
系数确定两直线的解析式，得出 ， ，结合题意求解即可．
【详解】（1）解：①当 ， 时， ，
联立方程组 ，
解得： ， ，
∴ ；
②过点B作 交 于点Q，过点B作 轴，过点A作 于点E，过点Q作 交
于点F，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，联立方程组 ，
解得 或 （舍去），
∴P点的横坐标为 ；
（2）存在，使 ，理由如下：
设 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，当 时， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵点P在第一象限，
∴ ， ，
∴
【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，正切函数的定义及相似三角形的判定和性质，函数的
交点问题等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
【方法三】 仿真实战法
考点1.求锐角三角函数值
1．已知sin6°＝a，sin36°＝b，则 ＝（ ）
A． B．2a C． D．b
【答案】A
【详解】试题分析：∵sin6°=a，∴ = ．故选A．
考点：锐角三角函数的定义．
2．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，在菱形 中， 于 ，以 为直径的 分别交
， 于点 ， ，连接 ．(1)求证：
① 是 的切线；
② ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)
【分析】（1）①根据菱形的性质得出 ，根据 ，可得 ，进而即可得证；
②连接 ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ，根据直径所对的圆周角是直角得出
，进而可得 ，结合 ，即可得证；
（2）连接 交 于 ．根据菱形的性质以及勾股定理求得 ，进而根据等面积法求得
，由 得： ，在 中，即可求解．
【详解】（1）证明：① 四边形 是菱形，
，
，则
又 为 的半径的外端点，
是 的切线．
②连接 ，∵
∴
为 直径，
，
而
，
又
．
（2）解：连接 交 于 ．
菱形 ， ，
， ， ，
在 中， ，
，
，
，在 中， ，
由 得： ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角
的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点2.计算器的使用方法
3．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共
有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边
缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果
精确到1）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
【答案】不得小于12度
【分析】根据题意可得DF＝ AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从
而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：由题意得：
DF＝ AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ ＝ ＝ ，
查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
① 按键的结果为4；
② 按键的结果为8；
③ 按键的结果为 ；④ 按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 ．
【答案】①③
【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．
【详解】解：① 按键的结果为 ；故①正确，符合题意；
② 按键的结果为 ；故②不正确，不符合题意；
③ 按键的结果为 ；故③正确，符合题意；
④ 按键的结果为 ；故④不正确，不符
合题意；
综上：正确的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．
考点3.利用网格求锐角三角函数值
5．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，有三点 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点D，连接 ， ，则B在 上，由 ， ， ，证明，可得 ．
【详解】解：如图，取格点D，连接 ， ，则B在 上，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C
【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅
助线构建直角三角形是解本题的关键．
6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点
称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，先根据勾股定理可得 ，再根据等腰三角
形的三线合一可得 ，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，，
，
又 点 是 的中点，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解
题关键．
考点4.特殊角的三角函数值与实数的运算
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】原式
【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解
题关键．
8．（2023·四川绵阳·统考中考真题）（1）计算： ．（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】（1）0.7
（2） ，
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值可以解答此题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答此题．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
=
，
当 ， 时，
原式 ．
【点睛】此题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，解答此题的关键是明
确它们各自的计算方法．【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶
点均在格点上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形．由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：由图可得： ，
∴ ．
故选：D．
2．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习） 中，若 ， ， 是锐角，
则 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质求出 ， ，然后求出
， ，即可判断 的形状．解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故 为等腰三角形．
故选：C
3．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）下列各式中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查特殊角三角函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系．根据特殊角三角
函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系解答即可．
【详解】解： ， ， ， ，
A、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
B、错误， ，符合题意；
C、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
D、正确， ， ，不符合题意．
故选：B．
4．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角函数的定义，由三角函数的定义可知 ，可设 ，由勾股定理
可求得b，再利用余弦的定义代入计算即可．
【详解】解：在 中， ， ，
设 ，
由勾股定理得： ，
．故选：B．
5．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，以 三边为边向外作正方形，面积分别是 ， ， ，
若 ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理与三角函数，利用 ，可以得到 为直角三角形，再
利用勾股定理及三角函数的定义即可求解；
【详解】解：∵ ，
即： ,
∴ 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C
6．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，融创乐园彩虹滑梯的高度为 ，滑梯的坡角为 ，
那么彩虹滑梯的长度 为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形；根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：依题意，∵ ，
∴
故选：D．
7．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，已知 的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误
的为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，先设小正方形的边长为 ，利用勾股定理分别求出
， ， ，进而可得 为直角三角形，然后根据三角函数的定义分别求出 ，
， ， ， ，进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可得出答案．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：
∵ ，
∴ ，∴ 为直角三角形，即 ，
∴ ，
故选项A正确；
∵ ，
∴ ，
故选项B正确；
∵ ，
∴ ，
故选项C不正确；
∵ ，
∴选项D正确．
故选：C．
8．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）在 中， ，把 的邻边 与对边 的比叫做
的余切，记作 .则下列关系式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同角三角函数的关系．可根据同角三角函数的关系、余切与正切之间的关系进行解答．
【详解】解：在 中， ， ， ，
A、 ，关系式不成立，本选项符合题意；
B、 ，关系式成立，本选项不符合题意；
C、 ，关系式成立，本选项不符合题意；D、 ，关系式成立，本选项不符合题意；
故选：A．
9．（2023·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于 两
点；②作直线 交 于点M，交 于点N，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，勾股定理，特殊角的三角函数值，过点C作
于点H，利用锐角三角函数，求出 ，化斜为直，结合已知求解是解题的关键．
【详解】根据题意，直线 是 的垂直平分线，
∴ ，
过点C作 于点H，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选C．
10．（2023·江西九江·九年级校考阶段练习） 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ，
，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，则k的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，分别过点A，B
作x轴的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ， ，根据两角对应相等的两三角形相似得
出 ，代入计算即可得到结果．
【详解】提示：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为 ， ．∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴相似比为 ，
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
∴ ， ．
∴ ，
∴
∴ ．
故选：D
二、填空题
11．（2023·全国·九年级专题练习）若 ，则 等于 度．
【答案】15
【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值，根据 即可解答．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：15．
12．（2023·上海青浦·九年级校考期中）已知点 ， 与 轴正半轴的夹角为 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了点的坐标、勾股定理、锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出 ，根据余弦的定
义即可求解，掌握余弦的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，则 ，
∵点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习） ．
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，直接将特殊角的三角函数值代入计算即可．牢记特
殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解： ．故答案为 ．
14．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）在 中， ， ， ，则
.
【答案】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定，由 ，得出 ，从而得
到 ， ，再利用锐角三角函数求解．
【详解】解： 中， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
15．（2023·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格
点， 的顶点都在格点上，则图中 的余弦值是
【答案】 /
【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及其逆定理，余弦函数的定义，先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在菱形 中， ， ，点 是直线 上的一
点，且 ，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形．连接 交 于O，根据菱形的性质得到 ，
， ，由勾股定理得到 ，分两种情况：点P在菱形内的 上和
的延长线上，根据已知条件得到 或 ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：连接 交 于O，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
①当点P在在菱形内的 上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②当点P在菱形外的 上时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
17．（2023·北京西城·九年级北京市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系 中，P为x轴正半轴
上一点．已知点 ， ， 为 的外接圆．
（1）点M的纵坐标为 ；
（2）当 最大时，点P的坐标为 ．
【答案】 5
【分析】（1）根据点A、点B的坐标求出 的中点，根据外心的概念得到点M的纵坐标；
（2）连接 、 ，过点M作 轴于点N，根据垂径定理求出 ，进而求出 ，根据勾股定理
计算，得到答案．【详解】解：（1）∵点 ， ，
∴ 的中点坐标为 ，
∵ 为 的外接圆，
∴点M在 的垂直平分线上，
∴点M的纵坐标为5，
故答案为：5；
（2）连接 ， ，
根据解析（1）可知，点M一定在直线 上，
∵ 为 的外接圆，点P在x轴上，
∴ ，
∴ ，
如图，过点M作 于点N，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 最小时， 最大，即 最大， 最大，
∴当 ，即当 与x轴相切于点P时， 最大，
连接 、 ，
∵ 与x轴相切于点P，
∴ 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
在 中， ，∴ ，
∴点P的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当 与
x轴相切于点P时， 最大是解题的关键．
18．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 中， ，点 在 上，点 在 外，
连接 ， ， ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，在
上截取 ，连接 ，过点 作 于点 ，设 ，则 ，证明
是等边三角形得到 ， ， ，证明 得到
，再求出 、 的长度，最后由正切的定义进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活
应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ，过点 作 于点 ，，
，
设 ，则 ，
，
是等边三角形， ，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，故答案为： ．
三、解答题
19．（2023·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校联考期中）计算：
【答案】0
【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，以及二次
根式的性质和绝对值性质、特殊角的三角函数值分别求解即可．熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答
的关键．
【详解】解：
．
20．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，实数的混合运算．先分别计算特殊角三角函数值、零次幂、二次
根式以及负整数指数幂，最后再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
21．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可化简求解；
（2）根据实数的性质化简，再合并求解．
此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
【详解】（1）
=
=
=
（2）
=
=
=2
22．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算、三角函数、零指数次幂；代入特殊角三角函数值，然后根据二次根
式和零次幂的性质化简．【详解】解：原式
．
23．（2023·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）如图，将矩形纸片 的四个角
向内折叠， 为折痕，折叠后，点 、 落在 上点 的位置，点 、 落在 上点
的位置
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，则 ______； ______．
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）根据折叠的性质得出 ，进而证明四边形 是矩形，根据勾股定理求得
的长，根据矩形的性质，即可求解；
（2）设 ，则 ，依题意，折叠后，点 、 落在 上点 的位置，点 、 落在 上
点 的位置，则 ，根据 得出 ，进而求得 ，即可求
解；根据折叠的性质得出 ．
【详解】（1）解：连接 ，根据题意，由折叠的性质，
， ，
∴ ，
即 ，
同理可求： ， ，
∴四边形 是矩形；
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是矩形；
∴ ，
∴ ，
∵ ，设 ，则 ，
依题意，折叠后，点 、 落在 上点 的位置，点 、 落在 上点 的位置，则 ，
∴ ，同理可得 ，
在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵折叠，
∴ ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，正切的定义，勾股定理，解题的的关键是熟练掌握
折叠的性质．
24．（2023·全国·九年级期末）如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡 长为8米，
坡角恰好为 ．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒 （手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，
木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、
楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据： ，
， ，结果精确到1米）
【答案】44米
【分析】如图，作 交 于点G，交 于点H，延长 交 于点F；通过三角函数计算求出
线段 ，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出 的长；根据相似三角形的判
定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：
；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果．
【详解】解：如图，延长 交 于点F，作 交 于点G，交 于点H，
∵斜坡 米，坡角 ，
∴ 米；
∵ 米，
∴ 米，∵根据题意，
∴四边形 是矩形，
∴ 米；
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 米，
故这栋楼的高度为44米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌
握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键．
25．（2023·吉林长春·九年级统考阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，毎个小正方形的
顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要
求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段 为边画 ，使点C在格点上，且 ；
(2)在图②中以线段 为边画 ，使 ；
(3)在图③中以线段 为边画 ，使面积为3个平方单位．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查了格点作图，解直角三角形的应用，相似三角形的应用．
（1）构造 的等腰直角三角形即可；
（2）在（1）的基础上， 与格线交于点 ， 即为所作；得到 ，推出
，即 ；
（3）在（1）的基础上，取格点M、N，连接 交 于点 ，则 即为所作；因为
，由 得 ，所以 ．
【详解】（1）解： 如图所示，
；
（2）解： 如图所示，
；
（3）解： 如图所示，
．
26．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ．图1 图2 图3
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，P为第二象限抛物线上的一点，连接 、 、 ，若点P的横坐标为t， 的面积为
S，用含t的式子表示S；
(3)如图3，在（2）的条件下，将线段 绕点A逆时针旋转90度，得到线段 （O的对应点为H），D
为y轴负半轴上一点，F为线段 上一点，连接 、 ，连接 交 于点Q，连接 ，若
， ， ，求S的值．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）求出 ， ，则有 ，再由 可求 ；
（2）先求直线 的解析式为y=x+3，过P点作 轴交 于点G，再由 ，则有
，即可求出结果；
（3）在 上取点 使得 ，连接 交 于点E，在 上取点 ，使得 ，连接
交 于点 ，可得 ，作平行四边形 ，设 ，则 ，
，作 于N，交 于R，证 ，进而可证 ，进一步可证 ，得到四边形 是矩形，再由 ， ，得到方程
，求出t，即可求S．
【详解】（1）解： ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
， ，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点 作 轴交 于点G，
设直线 的解析式为 ，
， ，
则 ，解得： ，
，
点P的横坐标为t，（3）如图，在 上取点 使得 ，连接 交 于点E，在 上取点 ，使得 ，
连接 交 于点 ，
，即 ，
，
，
，
作平行四边形 ，
设 ，
，
，
，
作 于N，交 于R，
， ，
，
，
，
，，
，
设线段 ，
，
，
（舍去）或 ，
，
，
解得： ，
，
延长 到K，使 ，
，
，
， ，
作 交于点 ，作 于点S，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
过点P作 轴交于 ，
，，
， ，
，
（舍去）或 ，
．
