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考点 05 函数的应用（核心考点讲与练）
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f ( α ) ＝ 0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
f ( a ) f ( b )< 0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x∈(a，b)，使f(x)
0 0
＝0.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 (x ， 0 ) ， (x ， 0 ) (x ， 0 ) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 y＝ax y＝logx y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随n值变化
随x的增大逐渐表 随x的增大逐渐表
图象的变化
现为与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行
而各有不同
4.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
相关模型
与对数函数
f(x)＝blogx＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，
a
b≠0)
相关模型
与幂函数
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
相关模型
1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数
的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的
图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
3.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可
转化为函数值域问题.
4.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
5.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相
应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
函数与方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，且 是 的一个零点，则 一定
是下列函数的零点的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知 ， ，若 在区间 上恰有4
个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
3．（2020·江西师大附中一模（理））已知函数 ， ， 的零
点分别为 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2020·河南·郑州中学模拟预测（文））函数 在区间 上的大致图像为
（ ）
A． B．
C． D．5．（2022·江西赣州·二模（理））若函数 有零点，则a的取值范围是（ ）
A．[ ， ] B．
C．（0， ） D．（ ，+∞）
6．（2020·河南洛阳·模拟预测（理））已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a＞1，且6Sn＝an2+3an+2．
1
若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式 恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]
7．（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合 ， ，
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江西南昌·一模（文））已知 ，若 ， 分别是方程 ， 的根，
则下列说法：① ；② ；③ ，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2020·湖北黄冈·模拟预测（文））求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）A． B． 在 上为减函数
C．点 是函数 的一个对称中心 D．方程 仅有 个实数解
11．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实
数a的取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
12．（2022·湖南永州·三模）已知函数 ，若 在 内单调且有一个零点，
则 的取值范围是__________．
13．（2021·宁夏中卫·三模（理））已知方程 的根在区间 上，第一次用二分法求其近似解
时，其根所在区间应为__________．
四、解答题
14．（2022·四川雅安·二模）已知函数 ．
(1)当 时，曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 为整数，当 时， ，求 的最小值．
五、双空题
15．（2022·江苏江苏·一模）已知 是定义在 上的奇函数，且 .若当 时，
，则 在区间 上的值域为____________， 在区间 内的所
有零点之和为__________16．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的
总人数是 （ ）将 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，
可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组
人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，
而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通
过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感
染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为 ，且假设其中有不超过2名感染者，
采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.
函数模型及其应用
一、单选题
1．（2022·广东·一模）已知函数 ， ，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
2．（2022·贵州·模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的
生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 为相邻
两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 （ 为常数）来描述该物种累计
繁殖数量 与入侵时间 （单位：天）之间的对应关系，且 ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 ， .据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加 倍所需要的时间为（ ，
）（ ）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
3．（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通
常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率 与其体重 满足 ，其中 和 为正常数，该
类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的
8倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南新乡·三模（理））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号
的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里
面的1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，
若在信噪比为1000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N
减小到原来的 ，则信息传递速度C大约增加了（ ）（参考数据： ）
A．87% B．123% C．156% D．213%
5．（2022·天津市第七中学模拟预测）一种药在病人血液中的量不少于 才有效，而低于 病
人就有危险．现给某病人注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，为了充分发
挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：
， ，结果精确到 ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
二、多选题
6．（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确
的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
7．（2021·福建厦门·一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该
药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据
进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为 时
8．（2021·江苏南京·二模）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变
化近似满足关系式 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 在[0，2]上的平均变化率为 m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为 m/h
9．（2020·福建莆田·模拟预测）某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过 的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀
升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x 2016 2017 2018 2019
包装垃圾y（万
4 6 9 13. 5
吨）
（1）有下列函数模型：① ；② ；③ （参考数据：
， ），以上函数模型（ ）A．选择模型①，函数模型解析式 ，近
似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式 ，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）
与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
三、填空题
10．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 ，
已知一驾驶员某次饮酒后体内每 血液中的酒精含量 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是：
当 时， ；当 时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
__________ 才可驾车.
四、解答题
11．（2022·四川·泸县五中模拟预测（理））为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车”后，
又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①
根据行驶里程按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分
钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，
每次路上开车花费的时间 （分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的
频数分布情况如下表所示：
时间 （分
钟）频数 4 36 40 20
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为 分钟.
(1)写出张先生一次租车费用 （元）与用车时间 （分钟）的函数关系式；
(2)若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时
租赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作代表）
(3)若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设 表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段
畅通”的次数，求 的分布列和期望.
12．（2021·全国·模拟预测）随着我国经济发展､医疗消费需求增长､人们健康观念转变以及人口老龄化进
程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市
场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为 万元，最大产能为 台.每生产
台，需另投入成本 万元，且 由市场调研知，该产品每台的
售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润 万元关于年产量 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
13．（2018·全国·三模（理））某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化
工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的
函数关系可近似地表示为y 200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100
元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单
位不亏损？
函数综合
一、单选题
1．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学一模）已知 ，且函数 .若对任
意的 不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ，且
，其中 ， 为自然对数的底数，则 的值为
（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校模拟预测（文））设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·模拟预测）已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·安徽·池州市第一中学模拟预测（理））设函数 ，其中 ，若存在唯
一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·四川·仁寿一中二模（文））关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
二、多选题
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数 ，下列四个命题正确的是．
A．函数 为偶函数
B．若 ，其中 ， ， ，则
C．函数 在 上为单调递增函数
D．若 ，则
三、填空题
8．（2021·北京八十中模拟预测）已知集合 ，若对于任意 ，存在
，使得 成立，则称集合 是“好集合.给出下列4个集合：① ；
② ；③ ； ④ .其中所有“好集合”的序号
是________________.
_
一、单选题
1．（2020·海南·高考真题）基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一
0
个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用
指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足
0
R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加
0 0
1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天2．（2020·天津·高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200
份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已
知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能
完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5．（2019·全国·高考真题（理））关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
二、双空题
6．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、
西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：
一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的
80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
三、填空题
7．（2019·江苏·高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为
2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在区间
上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
四、解答题
8．（2019·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有
桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:
线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和
BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．一、单选题
1. （2022·辽宁大东·模拟预测） 已知函数 在 内有且仅有两个零
点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. （2022·全国·模拟预测） 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量
程度，则里氏震级度量r可定义为 ，则每增加一个震级，相对能量程度扩大到（ ）
A. 31.6倍 B. 13.16倍 C. 6.32倍 D. 3.16倍
3. （2022·全国·模拟预测）牛顿流体符合牛顿黏性定律，在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定
的： ，其中 为剪切应力， 为黏度， 为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性
关系时液体就称为非牛顿流体．非牛顿流体会产生很多非常有趣的现象，如人陷入沼泽越挣扎将会陷得越
深；也有很多广泛的应用，如某些高分子聚合物还可以做成“液体防弹衣”．如图是测得的某几种液体的
流变 曲线，则其中属于沼泽和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（ ）
A. ③和① B. ①和③ C. ④和② D. ②和④
4. （2022·天津·模拟预测） 已知函数 ，关于 的方程有四个相异的实数根，则 的取值范围是（ ）
A. B. ，
C. ， D. ， ，
5. （2022·湖南永州·二模）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病
的基本传染数为 ， 个感染者在每个传染期会接触到 个新人，这 个人中有 个人接种过疫苗（
称为接种率），那么 个感染者传染人数为 .已知某种传染病在某地的基本传染数 ，
为了使 个感染者传染人数不超过 ，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A. B. C. D.
6. （2022·全国·模拟预测）已知某种垃圾的分解率为 ，与时间 （月）满足函数关系式 （其中 ，
为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，
那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据： ）
A. 48个月 B. 52个月 C. 64个月 D. 120个月
二、多选题
7. （2022·福建莆田·模拟预测） 已知定义在 上的函数 （ ）
A. 若 恰有两个零点，则 的取值范围是
B. 若 恰有两个零点，则 的取值范围是
C. 若 的最大值为 ，则 的取值个数最多为2D. 若 的最大值为 ，则 的取值个数最多为3
三、填空题
8. （2022·广东茂名·一模）已知函数 ，若 均不相等，且
，则 的取值范围是___________
9. （2022·浙江·模拟预测）我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子･本经训》和
《山海经･海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500
光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真空中沿
直线经过一年时间的距离，光速 ；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字
的数量级是3）.
10. （2022·重庆实验外国语学校一模） 已知函数 ，若存在
， ，…， ，使得 ，则 的值为________．
