文档内容
专题 12.3 角平分线模型
【典例1】在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S ．
△AOB
【思路点拨】
（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可
得到结论；
（2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角
平分线的定义即可得到结论；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝
OH，根据三角形的面积公式即可得的结论．
【解题过程】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）如图2，连接OC，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
{OE=OF
在Rt△OEM与Rt△OFN中， ，
OM=ON
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
1
∴∠AOB＝90°+ ∠ACB，
2
1
即90°+ ∠ACB＝180°﹣∠ACB，
2
∴∠ACB＝60°；
（3）如图3，连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OH，
1 1 1 1
∴S = ×8×6= ×10OD+ ×6×OG+ ×8×OH，
△ABC
2 2 2 2
∴OD＝2，
1
∴S = ×10×2＝10．
△AOB
2
1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是
△ABC三条角平分线的交点，则S ：S ：S 等于（ ）
△ABO △BCO △CAO
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．（2021秋•藁城区校级月考）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M
是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
3．（2022 春•海州区校级期末）如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A'处，且 A'B 平分
∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．116° B．100° C．128° D．120°4．（2021秋•全椒县期末）如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在
AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（ ）
A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ∥AB D．PQ＝PC
5．（2022春•南岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作
1
EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+ ∠A，②∠EBO
2
1 mn
= ∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设 OD＝m，AE+AF＝n，则 S = ．其中正确的结论有
△AEF
2 2
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、
BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S ＝S +S ．
△PAC △MAP △NCP
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020秋•永城市期末）如图，∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，C是OB上的动点，连接PC，若PD＝4，
则PC的最小值为 ．8．（2022春•双峰县期末）如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加 ，
就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．
9．（2021秋•樊城区月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和
△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 ．
10．（2021秋•兴城市期末）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分
∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE．
有下列结论：
①∠AMC＝135°；
②△AMH≌△BME；
③∠AGC+∠BAC＝180°；
④BC＝BH+2MH；
⑤AH+CE＝AC．
其中，正确的结论有 ．（填序号）11．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角
平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
12．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分 BC，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
13．（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE
相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．14．（2021秋•南沙区期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
15．（2021秋•聊城期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC
交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于
E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．16．（2021秋•台江区校级期中）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
CM
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求 的值．
DO
17．（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝ °．
（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S 和S，已知S 2，则BC的长为 ．
1 2 1=
S 3
2
（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分
∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．18．（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交
边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；
③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在
直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．19．（2021秋•沂水县期中）【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线
段AB，AC，CD的数量关系．
【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，
当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数
量关系？直接写出结论，不证明．20．（2021秋•江汉区校级月考）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一
动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP．
（1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ °；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；
（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的
数量关系为： ．
