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第 36 讲 数列的综合运用
【基础知识全通关】
一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比
数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，
再根据两个数列各自的特征进行求解．
二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以
我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以
它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是
非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件
的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，
可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结
合函数的单调性来证明不等式．
三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数 ， 是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 ， 是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一
般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推
出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存
在的结果．
五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相
等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使
用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列 是等差数列， 是等比数列，且公比为 ，求
的前 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，
两式相减并求和. 在写出 与 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出
的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比 的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数
列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.【考点研习一点通】
考点一 等差、等比数列的综合应用
1.已知等差数列 中， .
（1）设 ，求证：数列 是等比数列；
（2）求 的前 项和.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ，即 .
又由 ，可得 .
故 ，
依题意， ，
因为 （常数），
故 是首项为4，公比 的等比数列.
（2）因为 的前 项和为 ，
的前 项和为 ，
故 的前 项和为 .
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设 的公差为 ，由题意求得 ，
即可求得数列的通项公式，进而得到数列 的通项公式，利用等比数列的定义，即可作
出证明；（2）由（1）可得 的前 项和和 的前 项和，即可得到数列
的前 项和.
考点二 数列与函数、不等式等的综合应用
2.已知函数 的图象过点 ，且点 在函数 的
图象上，又 为等比数列， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1） ， ；（2）见解析.
【解析】（1） 函数 的图象过点 ，
.
又点 在函数 的图象上，从而 ，即 ，
∴
公比.
（2） ，
，
.
【名师点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通
项公式、利用裂项相消法求数列的前 项和.
考点三 等差、等比数列的实际应用
3.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以
后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润
(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以
48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+ ×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2<n<18.
又n∈N*,故从第三年开始获得纯利润.
（2）①年平均利润为 =40-2(n+ )=16-2( - )2≤16,当且仅当n=6时取等号.
故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6.
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,
当n=10时,f(n) =128.
max
故此方案共获利128+16=144万美元.比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①
种方案.
考点四 数列中的探索性问题
4.已知数列 满足 ， ，且对任意 ， 都有
．
（1）求 ， ；
（2）设 )．
①求数列 的通项公式；
②设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ， ，且 ，使得 ， ，
成等比数列？若存在，求出 ， 的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，令 ， ，则 ，解得 ．
令 ， ，则 ，解得 ．
（2）①以 代替 ，得 ．
则 ，即 ．
所以数列 是以 为公差的等差数列．
，．
②因为 ，
所以 ，
则 ， ， ．
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ．
又 ，
所以 ，则 ，解得 ．
又 ，且 ，则 ， ．
所以存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等比数列．
考点五 数列的求和
5.已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设数列 的公差为 ，由 和 ， ， 成等比数列，得
， 解得 ，或 .当 时， ，与 成等比数列矛盾，舍去， ，
即数列 的通项公式为
（2） = ，
.
【考点易错】
1.已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)若数列 满足： ，求数列 的通项公式;
(3)令 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1)当 时，
当 时，
知 满足该式
数列 的通项公式为
(2) ①
②②-①得 即
(3)
令 ①
则 ②
①-②得：
数列 的前 项和为
2. 已 知 数 列 和 满 足 ： ， ，
其中 为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；
【解析】：（Ⅰ）假设存在实数 ，使得数列 是等比数列，则 ， ， 必然满足由 得 ，显然矛盾，
即不存在实数 使得数列 是等比数列。
（Ⅱ）根据等比数列的定义：
即
又
所以当 时，数列 不是等比数列；当 时，数列 是等比数列.
3.已知{a}是公比为q的等比数列，且a，a，a 成等差数列.
n 1 3 2
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)设{b}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S ，当n≥2时，比较S 与
n n n
b 的大小，并说明理由.
n
【解析、：(Ⅰ)由题设2a=a+a，即2aq2=a+aq,
3 1 2 1 1 1
∵a≠0，∴2q2-q-1=0，
1
∴ 或 ，n(n−1) n2 +3n
S =2n+ ⋅1= .
n 2 2
(Ⅱ)若q=1，则
(n−1)(n+2)
S −b =S = >0，故S >b .
n n n−1 2 n n
当n≥2时，
若
当n≥2时，
故对于n∈N，当2≤n≤9时，S>b；当n=10时，S=b；当n≥11时，S<b.
+ n n n n n n
4.设数列 的前 项和为 ．已知 ， ， ．
（Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求 的取值范围．
【解析】：（Ⅰ）依题意， ，即 ，
由此得 ．
因此，所求通项公式为 ， ．①
（Ⅱ）由①知 ， ，
于是，当 时，
，
，
当 时， ．又 ．
综上，所求的 的取值范围是 ．
【巩固提升】
1.已知数列 ， 均为递增数列， 的前 项和为 ， 的前 项和为 .且
满足 ， ，则下列说法正确的有( )
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】数列 中 ， ，两式相减得
所以数列 为隔项以2为公差的等差数列形式；
数列 中 ， ，两式相除得
所以数列 为隔项以2为公比的等比数列形式；
A选项因为 ，所以 即 ，又数列 为递增数列，
所以 即 ，所以 ，正确；
B选项因为 ，所以 即 ，又数列 为递增数列，所以，正确；
因为
因为CD选项中只有一个正确，取特值，当 时，
所以C选项正确，D选项错误.
故选：ABC
2.设数列 是等比数列，且 ， ，则数列 的前15项和为
__________．
【答案】
【解析】等比数列首项为 ,第二项为 ,故是首项为 ,公比为 的等比数列.
所以 ,所以 ,其前 项和为 ,时,为 .
3.设 是等差数列， 是等比数列．已知 ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 ．
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 ．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．依题意得
解得 故 ．
所以， 的通项公式为 的通项公式为 ．
（Ⅱ）（i） ．
所以，数列 的通项公式为 ．
（ii）．
4.已知等差数列 的公差 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项的和 .
【解析】（1）由 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 .
（2）设 公比为 ，由题意 ， ，即 ，所以 ，
于是 ，故 .
5.设数列 的前n项和为 ， ， ， ，记
.
（1）求证： 为等差数列，并求 ；
（2）若 ，记数列 的前n项和为 ，求 .
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，得：
，
两式相减得： ，
化简得： ，
，即 ，
又 ，
， ，
是以2为首项2为公差的等差数列.
（2） ,
,
,
两式相减得：
6.在等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
【解析】设等差数列 的公差为 ，
（1）∵ ， ，所以 ，
则 ，
（2）由（1）的 ，所以 .
7.已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ， .
n n 1 1
（I）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（II）求{a}和{b}的通项公式.
n n
【解析】（1）由题设得 ，即 ．
又因为a+b=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．
1 1
由题设得 ，即 ．
又因为a–b=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
1 1
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
8.已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．【解析】（1）设 的公比为 ．由题设得 ， ．
解得 （舍去）， ．由题设得 ．
所以 的通项公式为 ．
（2）由题设及（1）知 ，且当 时， ．
所以
．
9.已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ，设 的前 项的和为 ，求证： .
【解析】（1）由 是 ， 的等差中项得 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
所以 .
（2） ，
在成立，
又有 ，
.
10.已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．由 ，
，可得 ，从而 的通项公式为 ．由
，又 ，可得 ，解得 ，从而 的通项公式为 ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 ，故 ，
，从而 ，所以
．
（Ⅲ）解：当 为奇数时， ；当 为偶数时， ．
对任意的正整数 ，有 ，
和 ． ①
由①得 ． ②
由①②得 ，从而得
．
因此， ．
所以，数列 的前 项和为 ．
11.已知数列{a}，{b}，{c}满足
n n n
．
（Ⅰ）若{b}为等比数列，公比 ，且 ，求q的值及数列{a}的通项公式；
n n
（Ⅱ）若{b}为等差数列，公差 ，证明： ．
n
【解析】（Ⅰ）由 得 ，解得 ．由 得 ．
由 得 ．
（Ⅱ）由 得 ，
所以 ，
由 ， 得 ，因此 ．
12.已知两个数列 ， ，其中数列 是公差为 的等差数列，点 在函数
的图象上 ，若 ，则点 在函数 的图象上.
（1）求数列 和 的通项公式 ， ；
（2）求数列 的前 项和 .
【解析】 （1）由已知得： ， ，
∴ ， ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ；
（2）由（1）可得： ，
又 ，，
∴ ，
∴ .
13.已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）求数列 的前 项和．
【解析】（1）由条件 ，∴ ，
可得 是首项为1，公比为 的等比数列，∴ ，
当 ， ，∴ ，
∴ ；
（2）当 时， ．
当 时，
记
，，
相减可得
，
化简可得 ，
所以数列 的前 项和 ．
当 时，也满足成立．
综上数列 的前 项和 ．
14.已知等差数列 的前n项和 ， ， ， ，数列 的前n项和
， ．
（1）证明： 是等比数列，并求 ；
（2）求数列 的前n项和．
【解析】（1）证明：由 得，
因为当 时， ，
可得 ，
从而由 得， ，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，
得 ；
（2）解：根据题意，设等差数列 的公差为d，首项为 ，
则 ， ，
解得 ， ，
∴ ．
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
，
所以 ，
由 ．
所以数列 的前n项和为 ．
15.已知等差数列 中， ，公差大于0，且 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 （ ），
因为 ，则 ， ， ，
因为 是 与 的等比中项，
所以 ，
即 ，
化简得 ，
解得 或 （舍）
所以 .
（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以
.
