文档内容
第 36 讲 数列的综合运用
【基础知识全通关】
一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比
数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，
再根据两个数列各自的特征进行求解．
二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以
我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以
它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是
非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件
的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，
可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结
合函数的单调性来证明不等式．
三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数 ， 是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 ， 是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一
般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推
出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存
在的结果．
五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相
等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使
用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列 是等差数列， 是等比数列，且公比为 ，求
的前 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，
两式相减并求和. 在写出 与 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出
的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比 的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数
列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.【考点研习一点通】
考点一 等差、等比数列的综合应用
1.已知等差数列 中， .
（1）设 ，求证：数列 是等比数列；
（2）求 的前 项和.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ，即 .
又由 ，可得 .
故 ，
依题意， ，
因为 （常数），
故 是首项为4，公比 的等比数列.
（2）因为 的前 项和为 ，
的前 项和为 ，
故 的前 项和为 .
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设 的公差为 ，由题意求得 ，
即可求得数列的通项公式，进而得到数列 的通项公式，利用等比数列的定义，即可作
出证明；（2）由（1）可得 的前 项和和 的前 项和，即可得到数列
的前 项和.
考点二 数列与函数、不等式等的综合应用
2.已知函数 的图象过点 ，且点 在函数 的
图象上，又 为等比数列， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1） ， ；（2）见解析.
【解析】（1） 函数 的图象过点 ，
.
又点 在函数 的图象上，从而 ，即 ，
∴
公比.
（2） ，
，
.
【名师点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通
项公式、利用裂项相消法求数列的前 项和.
考点三 等差、等比数列的实际应用
3.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以
后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润
(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以
48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+ ×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得20，故S >b .
n n n−1 2 n n
当n≥2时，
若
当n≥2时，
故对于n∈N，当2≤n≤9时，S>b；当n=10时，S=b；当n≥11时，S
