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1.1&1.2.1正数负数及有理数的分类
正数与负数
像+3、+1.5、 、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、 、－584等在正数前面加
“－”号的数，叫做负数．
注意：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为
正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
题型1：正数和负数
1.下列各数为负数的是（ ）
A -2 B.0 C.3 D.√5
【分析】根据小于0的数是负数即可得出答案．
【解答】解：A．-2＜0，是负数，故本选项符合题意；
B．0不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；
C．3＞0，是正数，故本选项不符合题意；
D．√5＞0，是正数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了负数的定义．解题的关键是掌握负数的定义，要注意0既不是正数，也不是负
数．
【变式1-1】若气温为零上10℃记作+10℃，则−7℃表示气温为（ ）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
【答案】D
【解析】【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则-7℃表示气温为零下7℃.
故答案为：D.
【分析】正数和负数可以表示一对相反意义的量，“零上”表示为正，则“零下”表示为负，依此解
答即可.
题型2：0的再认识
2.下面是关于0的一些说法，其中说法正确的个数是( ).
①0是最小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数也不是偶数.
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C
【解析】【解答】①0是最小的自然数,说法正确；②0是最小的正数，说法错误，0不是正数；③0
是最小的非负数，说法正确；④0既不是奇数也不是偶数，说法错误，0是偶数.所以，说法正确有2
个.
故答案为：C
【分析】根据自然数、正数、非负数即可判断求解.
【变式2-1】下列关于“0”的说法中，不正确的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的整数
C．0是有理数 D．0是非负数
【答案】B
【解析】【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，正确；
B、没有最小的整数，故本选项错误；
C、0是有理数，正确；
D、0与正数统称为非负数，故本选项正确．
故选B．
【分析】根据0的特殊规定，对各选项分析判断后利用排除法．
【变式2-2】规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是()
A．8吨记为-8吨 B．15吨记为+5吨
C．6吨记为-4吨 D．+3吨表示重量为13吨
【答案】A
【解析】【解答】解：A、10−8=2(吨)所以8吨记为-2吨，而不是-8吨，故A说法符合题意；
B、15−10=5(吨)，所以15吨记为+5吨说法不符合题意；
C、10−6=4(吨)，所以-4吨表示重量为6吨说法不符合题意；
D、13−10=3(吨)，所以+3吨表示重量为13吨说法不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据相反意义的量及表达方法求解即可。
题型3：相反意义的量
3.如果向东走15米记作+15米，那么向西走20米记作（ ）
A．+5米 B．+20米 C．-5米 D．-20米
【答案】D
【解析】【解答】解：如果向东走15米记作+15米，那么向西走20米记作-20米；
故答案为：D．
【分析】利用相反意义的量及表示方法求解即可。
【变式3-1】据北京市金融监管局消息，将在2022年2月举办的北京冬奥会试点数字人民币．市场预
期有关部门会以其作为起始点，在全国普及数字人民币．2021年12月10日，小明的妈妈在北京建行
数字人民币钱包中存入100元，记作+100，那么-40表示（ ）A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元
【答案】A
【解析】【解答】根据题意，得-40表示：支出40元
故答案为：A．
【分析】根据相反意义的量及表达方法求解即可。
【变式3-2】物体向右运动4m记作+4m，那么物体向左运动8m，应记作 m
【分析】“向右运动4m”和“向左运动8m”是一对具有相反意义的量，据此可以得出答案．
【解答】解：物体向右运动4m记作+4m，那么物体向左运动8m，应记作-8m，
故填：-8．
【点评】本题考查的是正数和负数，关键是根据相反意义的量确定正负，由此可以得出正确答案．
题型4：相反意义的量的应用
4.一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少
不少于（ ）克．
A.155 B.150 C.145 D.160
【分析】根据有理数的加减法，可得标准的范围，可得最少的质量．
【解答】解：150-5=145克，150+5=155克，
145--155克，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加减法是解题关键．
【变式4-1】一种糖果，包装袋上写着：净重180克±6克，这表明这袋糖果的重量x的范围是
（ ）
x≤186克 B．x≥174克 C．174≤x≤186克 D．x=180克
【分析】先根据糖果净重180克±6克，可得糖果最重为180+6=186（克），最轻为180-6=174
（克），据此可得这袋糖果的重量x的范围．
【解答】解：∵糖果净重180克±6克，
∴糖果最重为180+6=186（克），最轻为180-6=174（克），
∴糖果的重量x的范围是174≤x≤186克，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正数与负数，解决问题的关键是正确理解120±5克的实际意义，分别计算最
大值和最小值来确定范围．
【变式4-2】以45千克为七年级学生的标准体重测量7名学生的体重，把超过标准体重的千克数记为
正数，不足的千克数记为负数，将其体重记录如下表：
学生（号） 1 2 3 4 5 6 7
与标准体重之差（千克） -5 +3 +2 -1 -2 +4 +6
（1）最接近标准体重的是学生 （填序号）.
（2）最大体重与最小体重相差 千克.
（3）求7名学生的平均体重.
【答案】（1）4号
（2）11（3）解：7名学生的平均体重＝45+（﹣5+3+2﹣1﹣2+4+6）÷7＝46（千克），
∴7名学生的平均体重为46千克.
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，4号学生的体重与标准体重之差的绝对值最小，
∴最接近标准体重的是4号学生.
故答案为：4号；
（2）由表格可知最高体重是第7名学生，最低体重是第1名学生，
∴体重之差为：6-（-5）=11（千克）
故答案为：11；
【分析】（1）由表格可知，4号学生的体重与标准体重之差的绝对值最小，据此解答；
（2）由表格可知最大体重是第7名学生，最小体重是第1名学生，再求差即可；
（3）计算出7名学生的体重与标准体重之差的和，然后除以7，再加上标准体重即为平均体重.
有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：
注意：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循
环小数不是分数，例如 ．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
题型5：识别有理数
5
5.下列数中：2，1.0010001， ，0，﹣π，有理数的个数是（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
5
【解析】【解答】解：2，1.0010001， ，0，﹣π，中，
3
2 ， 0 为整数，属于有理数，
1.0010001，为有限小数，属于有理数，
5
为分数，属于有理数，
3
∴有理数有 4 个，
故答案为：C．
【分析】根据有理数的定义逐项判断即可。5
【变式5-1】在下列数： − ，＋1，6.7，－15，－1中，属于分数的有（ ）
6
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
5
【解析】【解答】解： − 是分数，符合题意；＋1是正整数，不是分数，不符合题意；6.7是有限
6
小数，是分数，符合题意；－15和－1都是负整数，不是分数，不符合题意，
∴分数一共有2个，
故答案为：A．
【分析】根据分数的定义逐项判断即可。
题型6：数的集合
1
6.请把下列各数填入相应的集合中：1，－5， 2 ， 1.7˙ ，－20%．
2
负数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正整数集合：{ …}．
【答案】负数集合：{－5，－20%，…}
1
分数集合：{ 2 ， 1.7˙ ，－20%，…}
2
正整数集合：{1，…}
【解析】【分析】根据分数，负数，正整数的定义一一判断即可。
【变式6-1】把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）
3 2
6，－3，2.4，− ，0，－3.14， −
4 9
正数：{ …} 非负整数：{ …}
整数：{ …} 负分数：{ …}
3
【答案】解：6是正整数，﹣3是负整数，2.4是正分数，− 是负分数，0是整数但既不是正数也不是
4
2
负数，﹣3.14是负分数，− 是负分数，
9
∴正数：{ 6，2.4…}
非负整数：{ 6，0…}
整数：{6，－3，0…}
3 2
负分数：{− ，－3.14，− …}
4 9
【解析】【分析】利用正数包括正整数和正分数，非负整数包括正整数和0，正整数，负整数和0统
称为整数，再将各个数填在相应的括号里.
题型7：有理数的分类1
7.在0，3.14， ，2π， √38 ， −√8 ， √81 ，﹣0.4，﹣ √9 ，4.262262226……（每两个
3
“6”之间依次多一个“2”）中，
属于整数的有： ；
属于分数的有： ；
属于无理数的有： ．
1
【答案】0， √38 ， √81 ，－ √9；3.14， ，-0.4；2π， −√8 ,4.262262226…；
3
【解析】【解答】解：属于整数的有：0，√38，√81，−√9；
1
属于分数的有：3.14， ，-0.4；
3
属于无理数的有：2π，−√8，4.262262226……（每两个“6”之间依次多一个“2”）
1
故答案为：0，√38，√81，−√9；3.14， ，-0.4；2π，−√8，4.262262226……（每两个“6”之间依
3
次多一个“2”）.
【分析】利用立方根和算术平方根的性质，先将能开方的数进行开方运算，再利用正整数、负整数和
0统称为整数；正分数和负分数统称为分数；无限不循环的小数是无理数；分别将对应的数填在相应
的横线上.
【变式7-1】把下列各数：
1 22
﹣3.1，3.1415，﹣ ，+31，0.618，﹣ ，0，﹣1，﹣（﹣3），填在相应的集合里
3 7
分数集合： ；
整数集合： ；
非负整数集合： ；
正有理数集合： .
1 22
【答案】解：分数集合：﹣3.1，3.1415，﹣ ，0.618，﹣ ；
3 7
整数集合：+31，0，﹣1，﹣（﹣3）；
非负整数集合：+31，0，﹣（﹣3）；
正有理数集合：3.1415，+31，0.618，﹣（﹣3）.
【解析】【分析】正分数和负分数统称为分数，有限小数及无限循环小数都可以化为分数；正整数、
负整数和0统称为整数；正整数和0统称为非负整数；正分数和正整数统称为正有理数，据此将各个
数填在相应的括号里.
22 5
【变式7-2】把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，-8，π，-4.8，-17， ，0.6， −
7 8
自然数集：{ ……}；
正有理数集：{ ……}；
负有理数集：{ ……}；非负数集：{ ……}；
整数集：{ ……}；
非负整数集：{ ……}；
分数集：{ ……}；
【答案】解：自然数集：{+26，0 …}；
22
正有理数集：{+26， ，0 .6…}；
7
5
负有理数集：{-8，-4.8，-17， - - …}
8
22
非负数集：{+26，0， π ， ，0.6…}
7
整数集：{+26，0，-8，-17…}
非负整数集：{+26，0…}
2 5
分数集：{-4.8， ，0 .6 ，- …}
7 8
【解析】【分析】根据自然数、正有理数、负有理数、非负数、整数、非负整数、分数的定义，分别
判断填入相应的集合，即可得出答案.
题型8：有理数的简单规律题
8.有一组数为：-1， …找规律得到第7个数是（ ）
1 1
A.- B. C.-7 D.7
7 7
【分析】通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分
子都是1．
1
【解答】解：因为第7个数，7是奇数，所以应该是负数，即- 故选A．
7
【点评】本题是信息给予题，认清规律是解题的关键．
【变式8-1】一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单
位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第100次落下时，落点
在数轴上表示的数是
【分析】根据题意，可以写出前几次落点可以用哪些数字表示，从而可以发现数字的变化特点，从而
可以得到当它跳第100次落下时，落点在数轴上表示的数．
【解答】解：由题意可得，
第一次落点可以用1表示，
第二次落点可以用-1表示，
第三次落点可以用2表示，
第四次落点可以用-2表示，
…
则第100次落点可以用-50表示，
故答案为：-50．【点评】本题考查数轴，图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，可以写出每次落点可以用哪个
数字表示，发现数字的变化特点．
【变式8-2】观察下列数的规律，填上合适的数：1，-4，9，-16，25，-36，49， .
【分析】先观察总结规律，再根据规律求解．
【解答】解：根据题意，第几个数的绝对值就是序数几的平方，且序数是奇数时是正数，序数是偶数
时是负数；要填的是第八个，所以应该是-82=-64；故应填-64．
【点评】解此类问题要注意观察总结规律，提高综合归纳的能力．
一、单选题
1．某仓库有粮500吨，某天上午运出30吨，下年又运进20吨，则仓库现有粮（ ）
A．490吨 B．510吨 C．450吨 D．550吨
【答案】A
【解析】【解答】由题意得： 500−30+20=490 （吨），
故答案为：A.
【分析】根据运进为“+”，运出为“-”，再列式计算可求出结果。
2．下列说法正确的有（ ）
A．正整数 、正分数、和0统称为有理数
B．正整数、负整数统称为有理数
C．正有理数、负有理数和0统称有理数
D．0不是有理数
【答案】C
【解析】【解答】整数和分数统称为有理数，选项A、B不符合题意；选项C，正有理数、负有理数
和0统称有理数，符合题意；
选项D.0是有理数，选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】有理数的概念：有理数是整数(正整数、负整数和零)和分数(正分数、负分数)的统称。根据定
义，对选项判断即可。
3．在0，-√2，1，-2这四个数中负整数是( )
A．-2 B．0 C．-√2 D．1
【答案】A
【解析】【解答】A、-2是负整数，故选项正确；B、0既不是负数，也不是正数，故选项错误；
C、-√2是负无理数，故选项错误；
D、1是正整数，故选项错误．
故选A．
【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据实数的分类进行分析即可求解．
本题主要考查学生实数的分类以及各类数的概念，要求学生熟练掌握各类数的概念．
4．如果＋10%表示增加10%，那么－3%表示（ ）
A．减少3% B．增加3% C．增加10% D．减少6%
【答案】A
【解析】【解答】解：据正数和负数表示相反意义的量，增加用正数表示，可得负数表示减少，故－
3%表示表示减少3%.
故答案为：A.
【分析】由已知＋10%表示增加10%，可知增加用正数表示，可得负数表示减少，由此可得答案。
5．下列各对量中，不具有相反意义的是（）
A．胜3局与负3局
B．盈利3万元与亏损3万元
C．气温升高4℃与气温为－10℃
D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈
【答案】C
【解析】【分析】一般情况下一对反义词具有相反意义，气温升高和气温降低具有相反意义．
【解答】因为气温升高和气温升高不具有相反意义，所以气温升高4℃与气温升高10℃不是一对具有
相反意义的量．
故选C．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，一般情况下
一对反义词具有相反意义
1
6．在数− ，5，0，-4，-0.3中，负数有（ ）
3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【分析】根据正负数的定义便可直接解答，即大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不
是正数也不是负数．1
【解答】根据负数的定义可知，在这一组数中为负数的有：- ，-4，-0.3．
3
故选C．
【点评】此题考查的知识点是正数和负数，解答此题的关键是正确理解正、负数的概念，区分正、负
数的关键就是看它的值是大于0还是小于0，不能只看前面是否有负号．
7．若向北走 8m 记作 +8m ，则向南走 5m ，记作（ ）
A．+5m B．−5m C．+3m D．−3m
【答案】B
【解析】【解答】解：向北走 8m 记作 +8m ，则向南走 5m 记作-5m，
故答案为：B.
【分析】正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，若规定向北走为正，则向西走为负，据此解答.
二、填空题
8．如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降5m时，水位变化记作： m．
【答案】-5
【解析】【解答】解：因为升高记为+，所以下降记为﹣，所以水位下降5m时水位变化记作﹣5m．
故答案为：﹣5．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
9．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家.某仓库运进面粉7吨，记为 +7 吨，那么运出面
粉8吨应记为 吨.
【答案】-8
【解析】【解答】解：因为题目运进记为正，那么运出记为负.
所以运出面粉8吨应记为-8吨.
故答案为：-8.
【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量，故只要弄清楚了正数表示什么，即可直接写出答案.
10．把下列各数填入相应集合的括号内.
1 1
+6.5， −2 ，0.5，0，-3.2，13，-9， 5 ，-1，-3.6
3 2
⑴正数集合：{ …}；
⑵整数集合：{ …}；
⑶非负数集合：{ …}；
1 1
【答案】+6.5，0.5，13， 5 ；0，-9，13，-1；+6.5，0.5，0，13， 5
2 2【解析】【解答】解：（1）根据正数的定义：比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“+”,通常
1
可以省略不写.所以正数有：+6.5，0.5，13， 5 .（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整
2
数的集合.整数的全体构成整数集，所以整数有：0，-9，13，-1；（3）根据非负数的定义：正数和零
1
总称为非负数，非负数可以理解为不是负数而是正数和零.所以非负数有：+6.5，0.5，0，13， 5 .
2
【分析】（1）根据正数的定义判断填空即可.（2）根据整数的定义判断填空即可.（3）根据非负数的
定义判断填空即可.
1 7
11．在有理数-3， ，0，− ，-1.2，5中，整数有 ，负分数有 ．
3 2
7
【答案】−3，0，5；− ，−1.2
2
【解析】【解答】解：整数有−3，0，5．
7
负分数有− ，−1.2．
2
7
故答案为：−3，0，5；− ，−1.2．
2
【分析】根据整数和负分数的定义逐项判断即可。
三、解答题
12．下列各数填入相应的大括号里：
1 1
5 ， −1 ， 0 ， −6 ， π ， 0.3 ， −3 ， +5 ， −0.72 ，…
2 4
①正数集合：｛ …｝；
②整数集合：｛ …｝；
③负数集合：｛ …｝；
④分数集合：｛ …｝.
1
【答案】解：①正数集合： {5,π,0.3,+5 ,...} ；
4
②整数集合： {5,−1,0,−6,...} ；
1
③负数集合： {−1,−6,−3 ,−0.72,...} ；
21 1
④分数集合： {0.3,−3 ,+5 ,−0.72,...} .
2 4
【解析】【分析】根据有理数的相关定义即可求解.
13．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）
3 2
6，-3，2.4， − ，0，-3.14，
4 9
正数：{ …}
非负整数：{ …}
整数：{ …}
负分数：{ …}
2
【答案】解：正数有 6,2.4,
9
非负整数有 6,0
整数有 6,−3,0
3
负分数有 − ,−3.14
4
【解析】【分析】根据大于零的数是正数可得正数集合,根据分母为1的数是整数可得整数集合,根据大
于或等于零的整数是非负整数可得非负整数集合，根据小于零的分数是负分数可得负分数集合.
