第09讲函数的奇偶性与周期性（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 09 讲 函数的奇偶性与周期性 【基础知识全通关】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f( － x) ＝ f(x) ， 偶函数 关于 y 轴 对称 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( － x) ＝－ 奇函数 关于原点对称 f(x)，那么函数f(x)是奇函数 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值 时，都有 f(x ＋ T) ＝ f (x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期. 【考点研习一点通】 考点01 ：函数奇偶性的判断 【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在 为增函数 的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】【多选题】（2022·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数 的 定义域都是R，且 是奇函数， 是偶函数，则（ ） A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数 D． 是偶函数 考点02：函数奇偶性的应用【典例3】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数 为奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． ex 1 【典例4】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ， 则当x<0时，f(x)= （ ） ex 1 ex 1 A． B． ex 1 ex 1 C． D． 【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数 ， 满足 ，则 ___________. 考点03：函数周期性及其应用 【典例6】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在 上的函数 的图象连续不断， 有下列四个命题： 甲： 是奇函数； 乙： 的图象关于直线 对称； 丙： 在区间 上单调递减； 丁：函数 的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例7】（2021·广德市实验中学高三月考（文））已知对 ，，当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． f(x) (,) 【典例8】（2022·四川省石室中学高三一模（文））已知 是定义域为 的奇 f(1 x)  f(1 x) f(1)2 函数，满足 ,若 ，则 f 1 f 2 f 3  f 2020  ( ) 2020 2 0 2020 A． B． C． D． 考点04：函数性质的综合应用 f x 【典例9】（2022·山西省高三其他（文））已知函数 是定义在R上的偶函数，且在   f log a f log a2f 1 区间0,单调递增，若实数a满足 2 1 ，则a的取值范围   2 是（ ） 1  1  ,1 ,2 A．  2   B．1,2 C．  2   D． 0,2 【典例10】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，数列 是首项为 ､公差为 的等差数列，则 的值为（ ） A． B． C． D． f(x) 【典例11】【多选题】（2022·山东省高三其他）已知偶函数 满足f(x) f(2x)0 ，则下列说法正确的是（ ）． f(x) f(x) A．函数 是以2为周期的周期函数 B．函数 是以4为周期的周期函数 f(x1) f(x3) C．函数 为奇函数 D．函数 为偶函数 【典例12】（2021·湖南高三三模）函数 的定义域为D，对D内的任意 ，当 时，恒有 ，则称 为非减函数．已知 是定义域为 的 非减函数，且满足：①对任意 ， ．②对任意 ．则 的值为________． f x 【典例13】（2022·重庆高三其他（文））定义在R上的奇函数 满足： 3  3   3 f x  f x x 0,  4    4  ，且当   4  时， f xlog 2 (x1)m，若 f 100log 3 2 ，则实数m的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【考点易错】 易错01 ：函数奇偶性的判断 1.（2022·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （ ） 1 y  x A． x B．y  1x2 y 2x 2x y  xex C． D．2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增， f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（ ） A．(-1，1) B．(0，2) C．(-2，0) D．(2，4) 易错02：函数奇偶性的应用 3.（2022·广东高考模拟（文））已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足 f(1+x)=f(1−x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=（ ） A．0 B．−a C．a D．3a R f(x) f(x2)f(x) 4.（2022·山东高考模拟（文））已知定义在 上的奇函数 满足 0 x1 f(x) x2 f(1) f(2) f(3)L  f(2019) ，当 时， ，则 （ ） A．2022 B．0 C．1 D．-1 易错03：函数周期性及其应用 x2 4x, x0 gx 5.（2022·山西省高三其他（文））已知函数 4xx2, x0 ， f x xgx， f 2a f 2a a 若 ，则实数 的取值范围是（ ）  2  2  2 2   1,   2,   ,   ,  A． 3 B．  3 C． 3 D．3  f x 6.（2022·梅州市梅县区松口中学高三月考（理））设 是定义域为R的偶函数，且 0, 在 单调递减，则（ ）  1   3    2  A． f   log 3 4    f   2 2    f   2 3    1   2    3  B． f   log 3 4    f   2 3    f   2 2     3    2   1 C． f   2 2    f   2 3    f   log 3 4    2    3   1 D． f   2 3    f   2 2    f   log 3 4   易错04：函数性质的综合应用 7.（2022·江西省高三其他（理））已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为____． 【巩固提升】 1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为 的函数 的图象沿x轴左右平移 后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于 轴对称的图象，则关于函数 的性质叙述一定正确的是（ ） A． B． C． 是周期函数 D． 存在单调递增区间 2．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数 ，则“ ” 是“函数 为奇函数”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 条件 3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且 ，当 时， ，则f(101)+f(105)的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）A． B． C． D． 5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 是偶函数， 是奇函数， 并且当 ， ，则下列选项正确的是（ ） A． 在 上为减函数 B． 在 上 C． 在 上为增函数 D． 在 上 6．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数 ，下 列说法正确的是（ ） A．若 是奇函数，则 的图像关于点 对称 B．若对 ，有 ，则 的图像关于直线 对称 C．若函数 的图像关于直线 对称，则 为偶函数 D．若 ，则 的图像关于点 对称 7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则下列说法正确的是（ ） A．函数 有2个零点 B．当 时， C．不等式 的解集是 D． ，都有 8．【多选题】（2021·广东高三二模）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A． 是周期为 的周期函数 B． 是周期为 的周期函数 C． 为奇函数 D． 为奇函数 9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数 满足以下条件：① 的定义域是 ， 且其图象是一条连续不断的曲线；② 是偶函数；③ 在 上不是单调函数； ④ 恰有2个零点.则函数 的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 10.设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 11.（2018年理全国卷II）已知f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3) +⋯+f(50)=( ) A. −50 B. 0 C. 2 D. 50 f x 0, 12.（2022·全国高考真题（文））设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递 减，则（ ）  1   3    2  A． f   log 3 4    f   2 2    f   2 3    1   2    3  B． f   log 3 4    f   2 3    f   2 2     3    2   1 C． f   2 2    f   2 3    f   log 3 4    2    3   1 D． f   2 3    f   2 2    f   log 3 4   13．（2021·全国高三二模（理））已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对称，若 ，则 __________． f(x) x0 f(x)eax f(ln2)8 a 14.已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________. 15．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 的图象与 的图象 的交点个数为___________.