第10讲函数的图像（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 10 讲函数的图像
【基础知识网络图】
函数的图像
幂指 二 分
二次
对函 法
函数
数
图像与性质、图像变换
【基础知识全通关】
知识点01：一元二次方程的根与函数图像的关系
1. 当 时，二次方程 （
a≠0
）的根的个数可以用判别式
与0的关系进行判断；
2. 二次方程 （
a≠0
）的根 、 与系数的关系： ，
；
3.二次方程 （
a≠0
）的根的分布：结合 （ ）
的图象可以得到一系列有关的结论（ 可以转化为 ）：
（1）方程 的两根中一根比 大，另一根比 小⇔ .（2）二次方程 的两根都大于
（3）二次方程 在区间 内有两根
（4）二次方程 在区间 内只有一根⇔ ，或 而另
一根在 内，或 而另一根在 内.
（5）方程 的一根比 小且一根比 大（ ）
知识点02：零点
1. 函数的零点
(1) 一般地，如果函数 在实数a处的值为0，即 ，则a叫做这个函数的
零点．(2) 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：
① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变；
② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。
(3)函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究而推
出的．是由特殊到一般的思想方法。
2.二分法
(1) 已知函数 在区间[a，b]上连续的，且 ，通过不断地把函数
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点
的近似值的方法，叫做二分法。
(2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步
骤．只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点．
（3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识．此步骤本身就是
一个解题程序。这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用．
知识点03：函数模型
常用的几类函数模型
(1)一次函数模型： ；
(2)反比例函数模型： ；
(3)二次函数模型： ；
(4)指数函数模型： ；
(5)对数函数模型： ；
(6)幂函数模型： 。
知识点04：图象变换
（一） 函数图象
1.作图方法：
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要
把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变
化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手
段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，
以及确定怎样的变换．这也是个难点．
2.作函数图象的步骤：
①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、特殊点（如：零
点、极值点、与轴的交点）；
④描点连线，画出函数的图象。
（二） 图象变换
图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。
（1）平移变换（左加右减，上加下减）
把函数 的图像向左平移 个a单位，得到函数 的图像，
把函数 的图像向右平移 个a单位，得到函数 的图像，
把函数 的图像向上平移 个a单位，得到函数 的图像，
把函数 的图像向下平移 个a单位，得到函数 的图像。
（2）伸缩变换
①把函数 图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍得 (0< <1)
②把函数 图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍得 ( >1)
③把函数 图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 倍得 ( >1)
④把函数 图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍得 (0< <1)
（3）对称变换：
①函数 和函数 的图像关于x轴对称函数 和函数 的图像关于y轴对称
函数 和函数 的图像关于原点对称
函数 和函数 的图像关于直线 对称
简单地记为： 轴对称 要变， 轴对称 要变，原点对称都要变。
y=f (x) f (x+a)=f (b−x)
②对于函 数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是
a+b
x=
2
（4）翻折变换：
①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到 轴上方，得到函数
的图像；
②保留 轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数
的图像。
【考点研习一点通】
考点01：图象变换
【典例1】1．由函数 的图象，通过怎样的图象变换，可以作出 的图象？
【典例2】（2022·浙江绍兴市·高三三模）函数 的图象可能是（
）A． B．
C． D．
【典例3】分别画出下列函数的图象：
1y＝|lg(x－1)|；2y＝2x＋1－1；3 f x＝lg x－1||
考点02：图象的识别
【典例4】（2022·四川高三三模（理））函数 及 ，则
及 的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
2x3
【典例5】（2019·全国高考真题（理））函数
y 
2x 2x 在
6,6
的图像大致为
A． B．
C． D．
【典例6】（2022·云南高三三模（理））函数 的大致图象为（
）
A． B．C． D．
考点03：从图象到解析式
【典例7】（2022·河南高三月考（理））已知函数 ， ，则下列图
象对应的函数可能为（ ）
A． B．
C． D．
【典例8】（2022·四川达州市·高三二模（理））已知函数 与 的部分图象如图
1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（ ）
A． B． C． D．
考点04：用图
【典例9】（山东省春季真题））奇函数y=f(x)的局部图像如图所示，则（ ）A. f(2)>0>f(4) B. f(2)<0<f(4)
C. f(2)>f(4)>0 D. f(2)<f(4)<0
【典例10】（2022·吉林白山市·高三三模（理））如图，函数 的图象由一条射线和抛
物线的一部分构成， 的零点为 ，若不等式 对 恒成
立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例11】（2022·北京高考模拟（理））已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln
（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2) B．(−∞,e) C．(2,e) D．(e,+∞)
【典例12】（2021·全国高三其他（文））已知函数
f x  x2 4x  ex2 e2x x1 1,5 m,M
在区间 的值域为 ，则mM 
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8【考点易错】
易错01：图象变换
1、由函数 的图象，通过怎样的图象变换，可以作出 的图象？
【变式1-1】写出下列函数作图过程，然后画出下列函数图像的草图.
（1） （2） （3） （4）
易错02：一元二次方程的根的分布
2．已知函数 的一个零点比1大，一个零点比l小。求实数
的取值范围．
【解析】
【变式2-1】已知方程 至少有一正根，求实数 的取值范围.
易错03：零点的判定
3. 求方程 的解的个数．易错04：综合应用
4. 已知点 在函数 的图象上运动 ，其对应点
在函数 的图象上运动，
（1）求 的解析式；
（2）问：是否存在实数 , ( )，使得函数 在区间 上的值域为
.
【变式4-1】已知函数 ( , , )是奇函数，当
时， 有最小值2，其中 且 .
(1)试求函数 的解析式；
(2)问函数 的图象上是否存在关于点 对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不
存在，说明理由
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1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数 的大致图象如图所示，则（
）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江高三专题练习）函数 的图象是（ ）
A． B．C． D．
3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数 的图象大致为（
）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国高三专题练习（文））函数 的图象大致是（ ）．
A． B．C． D．
5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所
示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅
和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什
么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为
的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）
A． B．
C． D．6．（2022·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数 ，则
（ ）．
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
(mx1)2
7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y= 的图象
y xm
与 的图象交点个数说法正确的是（ ）
m0,1 m1,2
A．当 时，有两个交点 B．当 时，没有交点
m2,3 m3,
C．当 时，有且只有一个交点 D．当 时，有两个交点
8．（2022·浙江高三专题练习）已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图
象是（ ）
A． B．
C． D．
2x3
9.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数
y 
2x 2x 在
6,6
的图像大致为（ ）A． B．
C． D．
f(x) f(x1)2 f(x)
10.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数 的定义域为R，满足 ，且当
8
f(x)
x(0,1]时， f(x) x(x1)．若对任意x(,m]，都有 9，则m的取值范
围是
 9  7
A．
,
 B．
,

 4  3
 5  8
C． ,  D． , 
 2  3
11.（2018·全国高考真题（文））设函数 ，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．a,a≥b
12.对
a
、bR，记
maxa,b
b,ab ，函数 f(x)max  |x|,x2 2x4  (xR)．
（1）求 f(0)， f(4)．
（2）写出函数 f(x)的解析式，并作出图像．
（3）若关于x的方程 f(x)m有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围．（只需写出
结论）
13．（2021·全国高一课时练习）函数 和 的图象，如图所示．
设两函数的图象交于点 ， ，且 ．
（1）请指出示意图中曲线 ， 分别对应哪一个函数；
（2）结合函数图象，比较 ， ， ， 的大小．14．（2021·全国高一单元测试）函数 和 的图象如图所示，设两函数的
图象交于点 ， ，且 ．
（1）请指出图中曲线 ， 分别对应的函数；
（2）结合函数图象，比较 ， ， ， 的大小．