文档内容
专题 24.4 求阴影部分的面积
◆ 典例分析
【典例1】如图所示，△≝¿中，∠≝=120°,DE+EF=24，点O在DF上，以O为圆心的半圆分别与
4π
DE、EF相切于M、N两点，且M´N的长度为 ，则图中的阴影部分面积为 ．
3
【思路点拨】
连 接 OM、ON、OE， 如 图 所 示 ， 根 据 题 意 得 到 △EMO ≌△ENO(SSS)， 从 而 有
1 4π
∠MOD+∠NOF=120°，∠EOM=∠EON= ∠MON=30°，由M´N的长度为 ，得到半径为4，
2 3
MO 4
在Rt△EOM中，∠EOM=30°,∠EMO=90°，则ME= = ❑√3，由S =S −2S −S
❑√3 3 影 △EDF △EMO 二扇形
16 16 16❑√3 16π
=48− ❑√3− π即可得到图中的阴影部分面积为48− − ．
3 3 3 3
【解题过程】
解：连接OM、ON、OE，如图所示：
∵以O为圆心的半圆分别与DE、EF相切于M、N两点，
∴ON⊥EF、OM⊥ED，EM=EN，OM=ON，
∵OE=OE，
∴ △EMO ≌△ENO(SSS)，
∴ ∠EOM=∠EON，
∵∠OME=∠ONE=90°，∠≝=120°，∴∠MON=360°−90°−90°−120°=60°，
1
∴∠MOD+∠NOF=120°，∠EOM=∠EON= ∠MON=30°，
2
4π
∵ M´N的长度为 ，
3
4
π
3 ，
∴OM=ON= ×6=4
2π
MO 4
在Rt△EOM中，∠EOM=30°,∠EMO=90°，则ME= = ❑√3，
❑√3 3
∵ DE+EF=24
∴S =S +S
△EDF △EFO △EDO
1 1
= ED⋅OM+ EF⋅ON
2 2
1
= (ED+EF)⋅OM
2
1
= ×24×4=48，
2
1 1 4 8 120 16
∵S = ME⋅MO= ×4× ❑√3= ❑√3，S = ×π×42= π，
△EMO 2 2 3 3 二扇形 360 3
16 16 16❑√3 16π
∴S =S −2S −S =48− ❑√3− π，即图中的阴影部分面积为48− − ，
影 △EDF △EMO 二扇形 3 3 3 3
16❑√3 16π
故答案为：48− − ．
3 3
◆ 学霸必刷
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径
的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB=1，BC=3，则阴影部分的面积是（ ）5 3 5 5
A．4❑√5− π B．2❑√5− π C．2❑√5− π D．3❑√5− π
4 4 4 4
【思路点拨】
连接DB、DE，根据切线的判定可证AB是⊙D的切线，再根据切线长定理可得AB=BE=1，
∠ABD=∠EBD，由切线的性质可得DE⊥BC，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得
DC=BC=3，可得EC=2，再利用勾股定理求得AD=DE=❑√5，然后根据阴影部分的面积
1
=S − S 计算即可求解．
梯形ABCD 4 ⊙D
【解题过程】
解：连接DB、DE，
∵AD⊥AB，AD是⊙D的半径，
∴AB是⊙D的切线，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=BE=1，EC=BC−BE=3−1=2，∠ABD=∠EBD，DE⊥BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠EBD=∠BDC，
∴DC=BC=3，
在Rt△DEC中，DE=❑√32−22=❑√5，
∴AD=DE=❑√5，
1
∴阴影部分的面积=S − S
梯形ABCD 4 ⊙D
1 1
= (1+3)❑√5− π(❑√5) 2
2 4
5
=2❑√5− π．
4
故选：C．2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，⊙O半径OA=2，将圆沿BC折叠，点A与圆心O重合，图中
阴影部分面积为（ ）
8 8 4
A．4π−2❑√3 B． π+❑√3 C． π−2❑√3 D． π+2❑√3
3 3 3
【思路点拨】
连接AB，OB，OC，AC，OA与BC交于D，由折叠的性质可证△OBA，△OAC是等边三角形，由扇形
面积公式可计算出扇形OBC的面积，再求出△OBC的面积，由S =S −2(S −S )可求出阴
阴影 ⊙O 扇形OBC △OBC
影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含30°的直角三角形的性质，
等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积．
【解题过程】
解：连接AB，OB，OC，AC，OA与BC交于D，
由折叠性质可得，AB=OB=2，OC=AC=2，OA⊥BC，
∵OA=OB=OC，
∴AB=OB=OA=2，OC=AC=OA=2，
∴△OBA，△OAC是等边三角形，
∴∠BAD=∠CAD=∠BOA=∠COA=60°，
∴∠BOC=120°，
120π×22 4π
∴ S = = ，
扇形OBC 360 3
∵OA⊥BC，OB=OC，
∴∠OBD=∠OCB=30°，BD=CD，
1
∴ OD= OB=1,BC=2BD=2❑√OB2−OD2=2❑√3，
21 1
∴ S = BC⋅OD= ×2❑√3×1=❑√3，
△OBC 2 2
∴ S =S −2(S −S )=π×22−2 (4π −❑√3 ) = 4 π+2❑√3，
阴影 ⊙O 扇形OBC △OBC 3 3
故选：D．
3．（2024·广东中山·三模）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交
CD于点F，连接AE、AF.若AB=2，∠B=60°，则阴影部分的面积为（ ）
π 2π π 2π
A．❑√3− B．❑√3− C．2❑√3− D．2❑√3−
3 3 3 3
【思路点拨】
本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得
△AEC、△AFC和扇形ECF的面积是解题的关键．
如图：连接AC，根据菱形的性质求出∠BCD和BC=AB=2，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的
面积求解即可．
【解题过程】
解：如图：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，
∵∠B=60°，E为BC的中点，
1
∴CE=BE= BC=1=CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
2
∵∠B=60°，
∴∠BCD=180°−∠B=120°，由勾股定理得：AE=❑√22−12=❑√3，
1 1 ❑√3
∴S =S = ×2×❑√3× = =S ，
△AEB △AEC 2 2 2 △AFC
❑√3 120π×12 π
∴阴影部分的面积S=S +S −S =2× − =❑√3− ．
△AEC △AFC 扇形CEF 2 360 3
故选：A．
4．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得
E´C，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24❑√3−8π B．8π C．24❑√3 D．12❑√3−8π
【思路点拨】
本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接FD，过点B作BH⊥AC，先计算正六边形的面
积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案．
【解题过程】
解：连接FD，过点B作BH⊥AC，如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为4，
(6−2)×180°
∴AB=BC=4,∠ABC=∠BAF= =120°，
6
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
1 1
∴∠BAC= (180°−∠ABC)= ×(180°−120°)=30°，
2 21 1
∴AH=CH,BH= AB= ×4=2，
2 2
在Rt△ABH中，AH=❑√AB2−BH2=❑√42−22=2❑√3，
∴AC=4❑√3
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，
60π(4❑√3) 2
∴S = =8π，
扇形CAE 360
1
又S =S +S +S =4×4❑√3+ ×2×4❑√3×2=24❑√3，
正六边形ABCDEF △FDE 矩形ACDF △ABC 2
∴图中阴影部分的面积为24❑√3−8π
故选：A
5．（2023·山东临沂·二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于点D，点E为
半径OB上一动点．若OB=3，则阴影部分周长的最小值为( )
6❑√2+π 2❑√2+π 6❑√2+π ❑√2+2π
A． B． C． D．
2 3 3 3
【思路点拨】
利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为C´D的长与CD′的
长度和，分别进行计算即可．
【解题过程】
解：因为C´D是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可
作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′ ，此时CE+DE为最小值
连接OD′，
∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，
1
∴∠BOD=∠COD= ∠BOC=30°,
2
∴∠BOD=∠BOD'=30°, ∠COD′=90°，
在Rt△COD′中，CD′=❑√OC2+OD′2=❑√2OC=❑√2OB=3❑√2，
30π×3 1
C´D= = π，
180 2
1 6❑√2+π
阴影部分周长的最小值为 π+3❑√2= ．
2 2
故选：A．
6．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在⊙O中，A´B=B´C=C´D，⊙O的半径为4，A´B的长为π，则图
中阴影部分的面积是（ ）A．4π B．4π+❑√2 C．2π+6 D．8π−4❑√2
【思路点拨】
利用弧长公式求出∠BOC的度数，得出S ，过点B作BE⊥CO，求出S ,
扇BOC △BOC
过点A 作AF⊥DO交DO延长线于点F,求出S ，再把数值代入
△AOD
S =S ×3−(S −S )−S 中进行计算即可求出．
阴 扇BOC 扇BOC △BOC △AOD
【解题过程】
解：如下图所示：
设∠BOC=n，根据弧长公式得：
nπ×4
=π
180
∴n=45°
45π×42
∴S = =2π
扇BOC 360
∵A´B=B´C=C´D
∴S =S =S =2π
扇AOB 扇BOC 扇COD
过点B作BE⊥CO
❑√2
在等腰直角△BOE中,BE=EO= OB=2❑√2
2
1
∴S = ×4×2❑√2=4❑√2
△BOC 2
过点A 作AF⊥DO交DO延长线于点F
∵∠AOD=45°×3=135°∴∠AOF=45°
❑√2
∴AF=FO= AO=2❑√2
2
1 1
∴S = OD⋅AF= ×4×2❑√2=4❑√2
△AOD 2 2
∴S =S ×3−(S −S )−S
阴 扇BOC 扇BOC △BOC △AOD
=2π×3−（2π−4❑√2）−4❑√2
=6π−2π+4❑√2−4❑√2
=4π
故选：A．
7．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形ABCD，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点
F，再以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交CD于点E．已知AB=❑√2，AD=1，则图中阴影部分的面积
为（ ）
3 1 3 1 π π 3
A． π− B． π+ C． −1 D． −
8 2 8 2 4 6 2
【思路点拨】
本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角
形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差．
利用割补法将阴影部分分成三部分，即S =S +S +(S −S )，然后分别求每部分的
阴影 扇形AGF △AEG 扇形BAE △ABE
面积即可．
【解题过程】
解：由题意可知，BE与扇形DAF只有一个交点，则BE与扇形DAF相切，设这个切点为G，
连接AE，AG，则AG⊥BE．
过点E作EH⊥AB，交AB于点H．∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，DC=AB=❑√2．
由题意可得，BE=AB=❑√2，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：
CE=❑√(❑√2) 2 −12=1，
∴DE=CD−CE=❑√2−1，
∵CE=BC=1，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=45°，
即扇形BAE的圆心角为45°．
在Rt△DAE和Rt△GAE中，
{AE=AE)
，
DA=GA
∴Rt△DAE≌Rt△GAE，
∴EG=DE=❑√2−1，
∴BG=1，
∴∠GAF=∠CBE=45°，
即扇形AGF的圆心角为45°．
∴S =S +S +(S −S )
阴影 扇形AGF △AEG 扇形BAE △ABE
45×12π 1 (45×(❑√2) 2π 1 )
= + AG×EG+ − AB×EH ，
360 2 360 2
1 1 (π 1 )
= π+ ×(❑√2−1)+ − ×❑√2×1 ，
8 2 4 2
3 1
= π− ，
8 2故选：A．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，在对角线CF上取一点
P，使得∠APE=90°，以P为圆心，PE长为半径画弧，分别交边EF、AF于点M、N，则图中阴影部分
的面积为（ ）
3 1 4❑√3 1
A．3+❑√3− π B．❑√3− π C．2❑√3−π D． − π
2 2 3 2
【思路点拨】
如图，连接PM，PN，连接AE，交CF于Q，则AE⊥CF，则∠EFC=60°，EF=AB=2，
∠FEQ=30°，FQ=1，由勾股定理得，EQ=❑√3，∠PEQ=∠EPQ=45°，则PQ=EQ=❑√3，
PF=1+❑√3，∠PEM=75°，由勾股定理得，PE=❑√6，由PE=PM，可得∠PME=∠PEM=75°，则
❑√6 3❑√2
∠EPM=30°，如图，作EG⊥PM于G，MH⊥PF于H，则EG= ，由勾股定理得PG= ，则
2 2
3❑√2 ❑√3−1
MG=❑√6− ，由勾股定理得，ME=3−❑√3，则MF=❑√3−1，FH= ，由勾股定理得
2 2
❑√3(❑√3−1)
MH= ，由对称性可知，∠APN=∠EPM=30°，则∠MPN=30°，根据
2
S =S −S =2S −S ，计算求解即可．
阴影 四边形MPNF 扇形MPN △PMF 扇形APE
【解题过程】
解：如图，连接PM，PN，连接AE，交CF于Q，则AE⊥CF，
∵正六边形ABCDEF中，AB=2，1 (180°×(6−2))
∴∠EFC= × =60°，EF=AB=2，
2 6
∴∠FEQ=30°，
∴FQ=1，
由勾股定理得，EQ=❑√EF2−FQ2=❑√3，
∵∠APE=90°，
∴∠PEQ=∠EPQ=45°，
∴PQ=EQ=❑√3，PF=1+❑√3，∠PEM=75°，
由勾股定理得，PE=❑√2PQ=❑√6，
∵PE=PM，
∴∠PME=∠PEM=75°，
∴∠EPM=30°，
如图，作EG⊥PM于G，MH⊥PF于H，
∴∠PEG=60°，∠FMH=30°，
❑√6
∴EG= ，
2
3❑√2
由勾股定理得PG= ，
2
3❑√2
∴MG=❑√6− ，
2
由勾股定理得，ME=❑√EG2+MG2=3−❑√3，
∴MF=❑√3−1，
❑√3−1
∴FH= ，
2
❑√3(❑√3−1)
由勾股定理得MH=❑√M F2−FH2= ，
2
由对称性可知，∠APN=∠EPM=30°，
∴∠MPN=30°，
∴1 ❑√3(❑√3−1) 30π×(❑√6) 2 1
S =S −S =2S −S =2× ×(1+❑√3)× − =❑√3− π
阴影 四边形MPNF 扇形MPN △PMF 扇形APE 2 2 360 2
，
故选：B．
9．（2023·重庆渝北·一模）如图，AB是半圆O的直径，AF是弦，点C为OA上一点，以点O为圆心，OC
为半径的半圆交AB于另一点D，与AF相切于点E．若OA=2，OC=❑√2，则图中阴影部分的面积是
．
【思路点拨】
本题考查不规则图形面积的计算．根据题意将其转化为规则图形的面积即可，具体见详解．
【解题过程】
解：如图，连接OE,OF
∵AF是切线
∴OE⊥AF
∵OA=2,OC=OE=❑√2
∴∠OAF=∠AOE=45°
∵OA=OF
∴∠OAF=∠AFO=45°
∴EF=OE=❑√2
∴∠AOF=∠FOB=90°
∴S =S +S −S
阴影 △OEF 扇形FOB 扇形EOD
1 90×π×22 135×π×(❑√2) 2
= ×❑√2×❑√2+ −
2 360 3603
=1+π− π
4
π
=1+ ．
4
π
故答案为：1+ ．
4
10．（2023·山东青岛·三模）如图所示，∠AOB=90°，OA=OB=8，将扇形OAB绕边OB的中点D顺时
针旋转90°得到扇形O′ A′B′，弧A′B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路点拨】
将阴影部分转化成S +S−S ，作出辅助线，分别求出三个部分的面积进行求解即可．
扇形EA'O' △EO'F
【解题过程】
解：连接OO′,O′E，延长EO交O′ A′于F
由题可知，四边形ODO′F是正方形，
∴O′B′∥OA，
∵在Rt△O′FE中，OF=4,OA=OB=O′E=8，
∴∠FO′E=60°,EF=❑√82−42=4❑√3，
∵在正方形ODO′F中的阴影部分面积为
90°π×42
S=S −S =42− =16−4π，
正方形ODO'F 扇形ODO' 360°∴S =S +S−S
阴影部分 扇形EA′O′ △EO′F
60°π×82 1
= +16−4π−4×4❑√3×
360° 2
20
=16−8❑√3+ π．
3
20
故答案为：16−8❑√3+ π
3
11．（2024·山东青岛·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，以AB为直径的⊙O交
BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路点拨】
本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关
知识成为解题的关键．
如图：连接OD、AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质得到
1
∠B=∠C=30°，∠DAC=60°，所以∠AOD=2∠B=60°，AD= AB=2,然后再证OD∥AC，然
2
后根据切线的性质得到OD⊥DE，所以DE⊥AC，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出
AE=1，DE=❑√3，最后根据扇形的面积公式和梯形的面积公式以及S =S −S 求解即
阴影 梯形ODEA 扇形AOD
可．
【解题过程】
解：如图：连接OD、AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠DAC=60°，
1
∴∠AOD=2∠B=60°，AD= AB=2，
2
∵∠AOD+∠OAE=60°+120°=180°，
∴OD∥AC，
∴DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE,
∴DE⊥AC，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=60°，
1
∴AE= AD=1,DE=❑√3AE=❑√3,
2
1 60π×22 3❑√3 2π
∴S =S −S = (1+2)❑√3− = − ．
阴影 梯形ODEA 扇形AOD 2 360 2 3
3❑√3 2π
故答案为: − ．
2 3
12．（2023·江苏泰州·三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的三边为直径在BC同侧作半圆，
得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，若
AD=4，AE=5，则阴影部分的面积和为 ．
【思路点拨】
阴影部分的面积可以看成是以AC、AB为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去一个以
BC为直径的半圆的面积．
【解题过程】
解：设DE交以AC为直径的半圆于F，取BC的中点O，作OG⊥DF于G，连接CF、BD、OA，∵AC是直径，
∴∠AFC=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°
∵DF∥BC，OG⊥DF，
∴四边形BCFD和四边形DBOG是矩形，
∴BC=DF，OB=DG，
∵AD=4，AE=5，
1
∴AG= AE=2.5，
2
∴DG=AD+AG=6.5，
∴OB=OA=DG=6.5，BC=DF=2OB=13，
∴OG=❑√OA2−AG2=❑√6.52−2.52=6，
∴DB=OG=CF=6，
在Rt△ABD中，
AB=❑√AD2+BD2=❑√42+62=2❑√13，
AC=❑√BC2−AB2=❑√132−(2❑√13) 2=3❑√13，
S =直径为AC的半圆的面积+直径为AB的半圆的面积+S −直径为BC的半圆的面积
阴影 △ABC
1 (AC) 2 1 (AB) 2 1 1 (BC) 2
= π + π + AC×AB− π
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
= π(AC) 2+ π(AB) 2− π(BC) 2+ AC×AB
8 8 8 2
1 1
= π(AC2+AB2−BC2)+ AC×BC
8 2
1
= AC×BC
21
= ×2❑√13×3❑√13
2
=39
故答案为39．
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2❑√2，∠ACB=90°，D是AB的中
点，以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在E´F上（点E，F不与点C重合），半径DE
，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
【思路点拨】
本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问
题的关键．
连接CD，过点D作DM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，先证明DMCN是正方形，然后证明
△MDG≌△NDH(ASA)，最后运用S =S −S 解题即可．
阴影 扇形DEF 四边形DGCH
【解题过程】
解：如图，连接CD，过点D作DM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，
则∠DMC=∠DNB=∠DNC=90°
∵∠ACB=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，四边形DMCN是矩形
∵AC=BC=2❑√2，D是AB的中点，
1
∴∠A=45°,AD= AB=2
2∴AM=DM=❑√2
同理DM=DN=❑√2
∴四边形DMCN是正方形
∴DC=❑√2DM=2，∠MDN=90°
由题可知，∠EDF=90°，
∴∠MDG=∠NDH
在△MDG与△NDH中，
{∠DMG=∠DNH
)
DM=DN ，
∠MDG=∠NDH
∴△MDG≌△NDH(ASA)
∴S =S =DM2=(❑√2) 2=2
四边形DGCH 正方形DMCN
90
∵S = π×22=π
扇形DEF 360
∴S =S −S =π−2
阴影 扇形DEF 四边形DGCH
故答案为π−2
14．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2❑√3，点O为AC上一
点，以O为圆心，OC长为半径的圆与AB相切于点D，交AC于另一点E，点F为优弧DCE上一动点，则
图中阴影部分面积的最大值为 ．
【思路点拨】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，切线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，
理解等底时，高越大，面积越大，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键．
如图所示，连接OD，DE，根据切线的性质，∠A=30°可求出AC=3OD，根据BC=2❑√3可求出OD
的值，因为弓形DE的面积是定值，当△≝¿的面积最大时，阴影部分的面积最大，如图，过点O作
OG⊥DE，反向延长交⊙O于点H，连接DH，EH，当点F，H重合时，△≝¿的面积最大，即最大值为△DEH的面积，根据圆的基础知识可得△ODE是等边三角形，可求出GH=2+❑√3，S =2+❑√3，
△DEH
根据S =S −S 可求出弓形的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
弓形DE 扇形ODE △ODE
【解题过程】
解：如图所示，连接OD，DE，
∵AB切⊙O于点D，
∴∠ODA=90°，OC=OD=OE，
∵∠A=30°，
∴OA=2OD，
∴AC=OA+OC=2OD+OD=3OD，
∵BC=2❑√3，AB=2BC，AC=❑√3BC，
∴AB=4❑√3，AC=3OD=6，
∴OD=2，
∵弓形DE的面积是定值，
∴当△≝¿的面积最大时，阴影部分的面积最大，
如图，过点O作OG⊥DE，反向延长交⊙O于点H，连接DH，EH，当点F，H重合时，△≝¿的面积
最大，即最大值为△DEH的面积，
∵∠DOE=∠ADO−∠A=90°−30°=60°，OD=OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OD=OH=2，∠OEG=60°，
1
∴DG=EG= DE=1，
2
∴OG=❑√3EG=❑√3，
∴GH=OG+OH=2+❑√3，
1 1
∴S = DE·GH= ×2×(2+❑√3)=2+❑√3，
△DEH 2 260π×22 1
∵S =S −S = − DE·OG
弓形DE 扇形ODE △ODE 360 2
2π 1
= − ×2×❑√3
3 2
2π
= −❑√3，
3
2π 2π
∴图中阴影部分面积的最大值为：2+❑√3+ −❑√3= +2，
3 3
2π
故答案为： +2．
3
15．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，⊙O的半径是4，等边△ABC内接于⊙O，点D在A´C上，
点E在B´C上，且∠DOE=120°，OF⊥AB于点F，则阴影部分的面积是 ．
【思路点拨】
本题主要考查扇形的面积公式，根据圆的旋转不变性，把阴影部分面积化为弓形的面积和三角形面积是解
题的关键．
连接OB、OC，过O作OG⊥BC于点G，S =S ，△OCM≌△OBN，△OAF≌△OBG进
扇形BOC 扇形DOE
而得到：阴影部分的面积=弓形BEC的面积+S =S −S +S ，根据扇形的面积公式和三
△BOG 扇形BOC △BOC △BOG
角形的面积公式，即可求解．
【解题过程】
解：连接OB、OC， △ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵ ∠DOE=120°，
∴ S =S ，
扇形BOC 扇形DOE
∴∠BOC−CON=DOE−CON即∠COM=∠BON，
∴ S −S =S −S
扇形BOC 扇形COE 扇形DOE 扇形COE
即S =S ，
扇形BOE 扇形COD
在△OCM和△OBN中
{
OC=OB
)
∠COM=∠BON
∠OBN=∠OCM=30°
∴ △OCM≌△OBN，
∵OB=OC=4，
∴△BOC为等腰三角形，
1
∴ ∠OBC=∠OCB= (180°−120°)=30°，
2
∴∠ACO=30°，
过O作OG⊥BC于点G，
∴ ∠BGO=90°，
1
∴ OG= OB=2，
2
1
BG=CG= BC=2❑√3，
2
∴BC=4❑√3
∵ OA=OB=OC
∴∠OAF=∠OBF=∠OBC=30°，∵ OF⊥AB，
∴∠OFA=90°，
在△OAF和△OBG中
{
OA=OB
)
∠OAF=∠OBG=30°
∠OFA=∠OGB=90°
∴ △OAF≌△OBG
∴阴影部分的面积=弓形BEC的面积+S =S −S +S ，
△BOG 扇形BOC △BOC △BOG
120×π×42 4❑√3×2 2❑√3×2 16
= − + = π−2❑√3，
360 2 2 3
16
故答案为： π−2❑√3
3
16．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、
O均为格点，点C为A´B的三等分点（靠近点A），点E、F分别是线段AO、BO上的动点，且EF=5，点
G为EF的中点，连接CG、BG．在EF滑动的过程中，当CG值最小时，阴影部分的面积是 ．
【思路点拨】
如图1，连接AB、OG、BC、OC，根据勾股定理的逆定理确定∠AOB=90°，即A´B的度数为90°，根
1 5
据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OG= EF= ，根据题意得CG+OG≥OC，即
2 2
CG≥OC−OG，推出当点O、G、C三点共线时，取“=”号，此时CG值最小，最小值为：
5
CG=OC−OG= ，进一步得出点G为OC的中点，如图2，根据弧的度数的意义确定∠BOC=60°，证
2
明△OBC为等边三角形，得到BC=BO，由等腰三角形三线合一得BG⊥OC，求出
5 1 25
BG=❑√OB2−OG2= ❑√3，S = OG⋅BG= ❑√3，再代入S =S −S 即可得出答
2 △OBG 2 8 阴影 扇形OBC △OBG
案．【解题过程】
解：如图1，连接AB、OG、BC、OC，
∵每个小正方形的边长为1，点C为弧A´B的三等分点（靠近点A），
∴OA=OB=❑√42+32=5，AB=❑√72+12=5❑√2，
∵OA2+OB2=52+52=50=(5❑√2) 2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，
∴∠AOB=90°，即A´B的度数为90°，
∴△OEF是直角三角形，
∵点G为EF的中点，EF=5，
1 5
∴OG= EF= ，
2 2
∵点E、F分别是线段AO、BO上的动点，点G为EF的中点，
∴CG+OG≥OC，
∴CG≥OC−OG，
5 5
当点O、G、C三点共线时，取“=”号，此时CG值最小，最小值为：CG=OC−OG=5− = ，
2 2
此时点G为OC的中点，如图2，∵点C为弧A´B的三等分点（靠近点A），A´B的度数为90°，
2
∴C´B的度数为： ×90°=60°，OC=5，
3
∴∠BOC=60°，OC=5=OB，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=BO，
∴BG⊥OC，即∠BGO=90°，
∴BG=❑√OB2−OG2=❑
√
52−
(5) 2
=
5
❑√3，
2 2
1 1 5 5 25
∴S = OG⋅BG= × × ❑√3= ❑√3，
△OBG 2 2 2 2 8
60π×52 25 25 25
∴S =S −S = − ❑√3= π− ❑√3，
阴影 扇形OBC △OBG 360 8 6 8
25 25
∴在EF滑动的过程中，当CG值最小时，阴影部分的面积是 π− ❑√3．
6 8
25 25
故答案为： π− ❑√3．
6 8
17．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点P是CD延长线上一
点，连接PB,BD,BD平分∠ABP．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊥AP，DF=❑√3，求图中阴影部分面积．
【思路点拨】
（1）根据垂径定理、圆周角定理和角平分线定义得到相关角度关系，再由互余确定
∠OBE+∠ABP=90°，根据切线的判定即可得证；
（2）由中垂线性质确定PA=PB=AB，根据等边三角形判定与性质得到相应角度及线段长度，最后间接
表示出不规则图形面积S =S −S ，代值求解即可得到答案．
阴影 △OBP 扇形OBD
【解题过程】
（1）证明：∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴A´D=B´D，
∴∠BOD=2∠ABD，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABP=2∠ABD，
∴∠BOD=∠ABP，
∵∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠OBE+∠ABP=90°，
∴OB⊥BP，
∴BP是⊙O的切线；
（2）解：∵PC垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵BF⊥AP，BF平分∠ABP，
∴BF垂直平分AP，
∴BA=BP，
∴PA=PB=AB，
∴△PAB是等边三角形
∵PC⊥AB，
∴∠APC=∠BPC=30°，
在Rt△DFP中，∠DFP=90°，DF=❑√3，则DP=2❑√3，
∴PF=❑√PD2−DF2=3，
在Rt△BFP中，∠BFP=90°，∠BPF=60°，则∠PBD=30°，
∴∠PBD=∠DPB=30°，即BD=DP=2❑√3，
在Rt△BFP中，∠BFP=90°，∠PBD=30°，PF=3，则BP=6，
∵∠ODB=∠FDP=60°，
∴在△OBD中，OB=OD，∠ODB=60°，则△OBD是等边三角形，
∴BO=BD=2❑√3，
1 nπr2 60π⋅12
∴S = OB⋅BP=6❑√3,S = = =2π，
△OBP 2 扇形OBD 360 360
∴S =S −S =6❑√3−2π．
阴影 △OBP 扇形OBD
18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，
BE=7❑√2．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求⊙O的半径；
（3）若B是OP的中点，求阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，继而推得OC∥AD，根据等边对等角以及平行线的性
质即可得证得；
（2）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角可得∠AEB=∠ACB=90°，根据角平分线的定义及弧、
弦、圆周角的关系可得AE=BE=7❑√2，再根据勾股定理可得AB=❑√AE2+BE2=14，即可得出答案；
7
（3）过点C作CQ⊥OP，证明△OCB为等边三角形，利用勾股定理求得CQ=❑√OC2−OQ2= ❑√3，再
2
根据S =S −S 进行计算即可．
阴影 扇形OCB △OCB
【解题过程】
（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线
∴∠OCP=∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，∴∠OCD+∠D=180°，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB，BE=7❑√2，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴AE=BE=7❑√2，
∴AB=❑√AE2+BE2=❑√(7❑√2) 2+(7❑√2) 2=14，
∴⊙O的半径7；
（3）过点C作CQ⊥OP，
∴∠OQC=90°，
∵∠OCP=90°，B是OP的中点，OC=7，
1
∴BC= OP=OB，
2
∵OC=OB，
∴BC=OB=OC，
∴△OCB为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠OCQ=90°−∠COQ=90°−60°=30°，
1 7
∴OQ= OC= ，
2 2
∴CQ=❑√OC2−OQ2=❑
√
72−
(7) 2
=
7
❑√3，
2 2
60π×72 1 7 49 49
∴S =S −S = − ×7× ❑√3= π− ❑√3，
阴影 扇形OCB △OCB 360 2 2 6 449 49
∴阴影部分的面积为 π− ❑√3．
6 4
19．（2024·广东惠州·三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=4
，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF=EF，连接DE．
（1）填空：∠BCD= °；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）根据垂径定理得到B´C=B´D，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接OD，根据垂径定理得到CF=DF，∠AFC=∠EFD=90°，根据全等三角形的性质得到
∠E=∠A=30°，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC=❑√AB2−BC2=4❑√3，连接OM，根据
1
三角形中位线定理得到OM∥AC，OM= AC=2❑√3，求得∠BOM=∠A=30°，得到∠DOM=90°
2
，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解题过程】
（1）解：∵弦CD⊥AB于F，AB是⊙O的直径，
∴ B´C=B´D，
∴∠BCD=∠A=30°，
故答案为：30；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由如下：
连接OD，如图所示：∵弦CD⊥AB于F，AB是⊙O的直径，
∴CF=DF，∠AFC=∠EFD=90°，
∵AF=EF，
∴△ACF≌△EDF(SAS)，
∴∠E=∠A=30°，
∵∠DOE=2∠A=60°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，
∴AC=❑√AB2−BC2=4❑√3，
连接OM，如图所示：
∵点M是CB的中点，
1
∴BM=CM= BC=2，
2
∵AO=BO，
∴OM是△ABC的中位线，1
∴OM∥AC，OM= AC=2❑√3，
2
∴∠BOM=∠A=30°，
∵∠BOD=60°，
∴∠DOM=90°，
∴图中阴影部分的面积=△BOM的面积+扇形BOD的面积−△DOM的面积
1 60π×42 1 8π
= ×2×2❑√3+ − ×2❑√3×4= −2❑√3．
2 360 2 3
20．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接AE，DE．
过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
（1）求证：△AFD≌△CGD；
（2）若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）如图，连接EG，证明∠EDG=∠EAG=90°=∠EDC+∠CDG，再证明∠ADC=90°，
AD=CD，可得∠ADF=∠CDG，结合∠DAF=∠DCG，从而可得结论；
（2）如图，连接OA，OD，过F作FK⊥AD于K，设FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，证明
∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°，∠FAD=120°−90°=30°，可得AF=2x，AK=❑√3x，求
解∠ADF=180°−30°−135°=15°，而QF=QD，可得∠KQF=30°，FQ=2x=QD，QK=❑√3x，
可得2❑√3x+2x=2，再求解x，利用S =S +S 进行计算即可．
阴影 △AFD 弓形AD
【解题过程】
（1）解：如图，连接EG，
∵AE⊥AG，则∠EAG=90°，∴∠EDG=∠EAG=90°=∠EDC+∠CDG，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADF+∠EDC=90°，
∴∠ADF=∠CDG，
∵∠DAF=∠DCG，
∴△AFD≌△CGD．
（2）如图，连接OA，OD，过F作FK⊥AD于K，设FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，
∵O为正方形中心，
∴∠OAB=∠OAD=∠ODA=45°，∠AOD=90°，而∠BAE=30°，
∴∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°，
∵∠EAG=90°，
∴∠FAD=120°−90°=30°，
∴AF=2x，AK=❑√3x，
1
∵∠AED= ∠AOD=45°，
2
∴∠AFD=∠AED+∠EAF=45°+90°=135°，
∴∠ADF=180°−30°−135°=15°，而QF=QD，
∴∠QFD=∠QDF=15°，
∴∠KQF=30°，
∴FQ=2x=QD，QK=❑√3x，
而正方形的边长AB=2=AD，
∴2❑√3x+2x=2，
❑√3−1
解得：x= ，
2
1 1 ❑√3−1 ❑√3−1
∴S = AD·FK= ×2× = ，
△AFD 2 2 2 2
∵AD=2，∠AOD=90°，OA=OD，❑√2
∴OA=OD=AD× =❑√2，
2
1
∴S = ×❑√2×❑√2=1，
△AOD 2
90π×(❑√2) 2 1
而S = = π，
扇形AOD 360 2
1 ❑√3−1 π+❑√3−3
∴S = π−1+ = ．
阴影 2 2 2
