文档内容
红山区 2024-2025 学年度第一学期期末学情监测
高一年级数学
2025.1
本试卷共 4 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码
粘贴区.
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心
拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点 A 和 B 为圆心，以线段 AB 为半径作圆弧，交于点 C，等边哥特拱
是由线段 AB， ， 所围成的图形.若 ，则该拱券的面积是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C D.
4. 函数 的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
5. 在科学技术中，常常使用以 为底的对数，这种对数称为自然对数.若取 ，
，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 6
6. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 的定义域为 ，满足 且 ，则不等式 的
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学科网（北京）股份有限公司解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 为正整数，则
B. 若 ，则
C
D. 若 ，则
10. 已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数 是奇函数 B. 函数 在区间 上存在零点
C. 当 时， D. 若 ，则
11. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程
中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，
伽利略猜测这种形状是抛物线.直到 1691 年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是
，其中 为有关参数.这样，数学上又多了一对与 有关的著名函数——双曲函数：双曲正
弦函数 和双曲余弦函数 .则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B.
C.
D
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知 ，则 __________．
13. 已知幂函数 ， ， 的图象如图所示，则 ， ， 用<连接为__________．
14. 已知某种果蔬的有效保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）近似满足函数关系
（a，b 为常数，e 为自然对数底数），若该果蔬在 7℃的保鲜时间为 216 小时，在 28℃的有效保鲜时间为 8
小时，那么在 14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为_______小时.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设全集 ，集合 ， ，其中 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”成立 必要不充分条件，求 的取值范围．
16. 已知 ．
（1）若角 的终边过点 ，求 ；
（2）若 ，分别求 和 的值．
17. 已知函数 （ 且 ）.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求函数 的奇偶性；
（2）若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围.
18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安
装一种使用寿命为 4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积 （单位：
平方米）成正比，比例系数为 0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费 （单位：万元）与设备占地面积
之间的函数关系为 ，将该企业的净水设备购置费与安装后 4 年需缴水费之和合计为
（单位：万元）.
（1）要使 不超过 7.2 万元，求设备占地面积 的取值范围；
（2）设备占地面积 为多少时， 的值最小？
19. 已知函数 ， ．
（1）判断并证明 在 上的单调性：
（2）当 时，都有 成立，求实数 的取值范围；
（3）若方程 在 上有 4 个实数解，求实数 的取值范围．
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