文档内容
红山区 2024-2025 学年度第一学期期末学情监测
高一年级数学
2025.1
本试卷共 4 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码
粘贴区.
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到 ，根据交集概念进行求解即可.
【详解】 等价于 ，解得 ，
故 ，
又 ，所以 .
故选：B
2. 命题“ ”的否定是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式书写即可判断.
【详解】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“ ”的否定为：“ ”，
故选： .
3. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心
拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点 A 和 B 为圆心，以线段 AB 为半径作圆弧，交于点 C，等边哥特拱
是由线段 AB， ， 所围成的图形.若 ，则该拱券的面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出扇形 的面积和三角形 的面积即得解.
【详解】解：设 的长为 .
所以扇形 的面积为 .
的面积为 .
所以该拱券的面积为 .
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司4. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数 的奇偶性及其在 上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
故对任意的 ， ，所以，函数 为偶函数，排除 BD 选项；
当 时， ，则函数 在 的增长速度快于函数 的增长速度，排除
C 选项.
故选：A.
5. 在科学技术中，常常使用以 为底的对数，这种对数称为自然对数.若取 ，
，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合指、对数运算求解.
【详解】由题意可得： .
故选：C.
6. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 根 据 角 的 范 围 及 同 角 三 角 函 数 关 系 可 得 ， 再
由
，即可求值.
【详解】由 ， ，则 ，
所以 ，
则 .
故选：A
7. 已知函数 的定义域为 ，满足 且 ，则不等式 的
解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设有 在定义域 上单调递减，结合已知判断 的区间符号，进而求
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学科网（北京）股份有限公司不等式的解集.
【详解】由题设， 在定义域 上单调递减，且 ，
所以，在 上 ，在 上 ，
所以，当 时 ，当 时 ，当 时 ，
由 ，可得解集为 .
故选：C
8. 已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 画 出 、 和 的 图 象 ， 结 合 图 象 以 及 函
数
有两个零点求得 的取值范围.
【详解】函数 有两个零点，
即 有两个不相等的实数根，
即 与 的图象有两个交点.
画出 、 和 的图象如下图所示，
由 解得 ，设 .
由 解得 ，设 .
对于函数 ，
要使 与 的图象有两个交点，结合图象可知， .
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 为正整数，则
B. 若 ，则
C.
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．
【详解】对于 A，若 ，则 ，故 A 错误；
对于 B， 时， ，故 B 正确；
对于 C，由 ，则 ，当且仅当 时取等号，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，故 D 错误；
故选：BC．
10. 已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数 是奇函数 B. 函数 在区间 上存在零点
C. 当 时， D. 若 ，则
【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】应用奇偶性定义判断 A；由正弦函数的性质判断 单调性及区间符号，结合零点存在性定理判
断 B、C；应用特殊值法有 判断 D.
【详解】由解析式知，函数定义域为 R，且 ，A 错；
在 上 单调递增，且 ， ，
所以函数 在区间 上存在零点，B 对；
由 上 单调递增，且 ，故 ，C 对；
由 ，显然 ，D 错.
故选：BC
11. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程
中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，
伽利略猜测这种形状是抛物线.直到 1691 年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是
，其中 为有关参数.这样，数学上又多了一对与 有关的著名函数——双曲函数：双曲正
弦函数 和双曲余弦函数 .则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据新定义，直接运算 即可判断 A，根据
即可判断 B，结合同底数幂的乘法法则，利用作差法即可判断 CD.
【详解】A：
，故 A 错误；
B： ，故 B 正确；
C： ，
，即 ，故 C 正确；
D：
，
由 得 ，即 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得 ,再求 ,进而运算求得结果.
【详解】由 得：
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学科网（北京）股份有限公司，
解得： ；
由 得：
又因为 ,且 ,所以 即
所以
则
故答案为： .
13. 已知幂函数 ， ， 的图象如图所示，则 ， ， 用<连接为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据在 时函数值的大小关系可判断 ， ， 的大小.
【详解】
由图可得， ，
根据指数函数 在 上为增函数可得， .
故答案为： .
14. 已知某种果蔬的有效保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）近似满足函数关系
（a，b 为常数，e 为自然对数底数），若该果蔬在 7℃的保鲜时间为 216 小时，在 28℃的有效保鲜时间为 8
小时，那么在 14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为_______小时.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】72
【解析】
【分析】根据题意列出方程组，求出 ，确定函数解析式，再代入求值即可.
【详解】由题意得： ，①÷②得： ，故 ，
则 ， ，故
故当 时， .
故答案为：72
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设全集 ，集合 ， ，其中 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合 ，利用集合间的基本运算可得结果.
（2）根据条件可得 ⫋ ，根据集合间的关系列不等式组计算可得结果
【小问 1 详解】 .
由 得， ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，即 .
【小问 2 详解】
∵“ ”是“ ”成立的必要不充分条件
∴ ⫋ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围是 .
16. 已知 ．
（1）若角 的终边过点 ，求 ；
（2）若 ，分别求 和 的值．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简 ，根据三角函数的定义求得 .
（2）根据齐次式的知识求得正确答案.
小问 1 详解】
，
若角 的终边过点 ，则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
若 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ；
.
17. 已知函数 （ 且 ）.
（1）求函数 的奇偶性；
（2）若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）求出函数 的定义域，利用函数奇偶性的定义可得出结论；
（2）由 可得出 ，求出函数 在 上的值域，
可得出实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
解：对于函数 ，有 ，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
，故函数 为奇函数.
【小问 2 详解】
解：由 可得 ，
则 ，
令 ，其中 ，
因为函数 、 在 上为增函数，故函数 在 上为增函数，
当 时， ，
因此，实数 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安
装一种使用寿命为 4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积 （单位：
平方米）成正比，比例系数为 0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费 （单位：万元）与设备占地面积
之间的函数关系为 ，将该企业的净水设备购置费与安装后 4 年需缴水费之和合计为
（单位：万元）.
（1）要使 不超过 7.2 万元，求设备占地面积 的取值范围；
（2）设备占地面积 为多少时， 的值最小？
【答案】（1）
（2）设备占地面积为 时，y 的值最小
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，解不等式 即可得解.
（2）将 变形 ，再利用基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
令 即 ，整理得 即 ，
所以解得 ，
所以设备占地面积 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以设备占地面积为 时， 的值最小.
19. 已知函数 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）判断并证明 在 上的单调性：
（2）当 时，都有 成立，求实数 的取值范围；
（3）若方程 在 上有 4 个实数解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）函数 在 上单调递增，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）判断出函数 在 上为增函数，然后任取 、 且 ，作差
，因式分解后判断 符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）令 ，由 可得出 在 恒成立，利用对勾函数的单调性可求得
实数 的取值范围；
（3）令 ，令 ，分析可知函数 在 上有两个不等的零点，
根据二次函数的零点分布可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的取值范围.
小问 1 详解】
函数 在 上单调递增，证明如下：
任取 、 且 ，则 ， ，
则
，
，所以函数 在 上单调递增.
【小问 2 详解】
因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
当 时，令 ，则 ，
，
由 恒成立可得， 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ， ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以实数 取值范围是 .
【小问 3 详解】
对任意的 ， ，
所以函数 为偶函数，
由（1）可知，函数 在 上为增函数，则该函数在 上为减函数，
令 ，当 时， ，
由 可得 ，
令 ，则函数 在 上有两个不等的零点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
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